《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

例1 已知△ABC的三个内角A,B,C满足关系式sinB - sinA = $\frac{1}{2}$sinC，且|AB| = 2$\sqrt{3}$，求顶点C的轨迹方程.

答案： 解析:△ABC中根据正弦定理得:$\frac{|AB|}{sinC}$=sBinCA⊥　$\frac{|AC}{sinB}$
　=2R(R为△ABC外接圆半径)，
∴sinA=$\frac{|BC}{2R}$,sinB=↓2ARC,,sinC=$\frac{|AB}{2R}$,
∵sinB−sinA=$\frac{1}{2}$sinC,
∴$\frac{|AC|}{2R}$−$\frac{|BC|}{2R}$=$\frac{1}{2}$　[AB]
∴|AC|−|BC|=$\frac{1}{2}$|AB|=$\sqrt{3}$＜|AB|=2$\sqrt{3}$
∴C点的轨迹是以A，B为左右焦点的双曲线的右支，且不包含右顶点，
　设该双曲线方程为$\frac{x²}{a²}$−辽6²=1(x＞a1),
　且|AC|−|BC|=$\sqrt{3}$=2a1,|AB|=2$\sqrt{3}$=2c1,
∴a1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$'C1=$\sqrt{3}$,b²=c²−a²=$\frac{9}{4}$,
∴顶点C的轨迹方程为$\frac{4.x²}{3}$−²9=1(x＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

巩固练习1 已知动圆C与圆C₁:(x - 3)² + y² = 4外切，与圆C₂:(x + 3)² + y² = 4内切，则动圆圆心C的轨迹方程为 （ ）
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.双曲线一支

答案： 解析:设动圆C的圆心C(x,y),半径为r,圆C:(x−3)²+y²=4的圆心为C(3,,0),半径为2;
　圆C2:(x+3)²+y²=4的圆心为C2(−3,0),半径为2,
　由题意可得，{||CCCC2∣∣==rr−+22或{||CCCC∣∣==r2+−2r,所以|CC|一|CC2|=4或|CC|+|CC2|=4,
　又因为|CC2|=6,所以|CC|−|CC2|=4,
　由|CC|+|CC2|≥|CC2|知|CC|+|CC2|=4不合题意，所以|CC1|−|CC2|=4＜6=|CC2|,
　根据双曲线的定义知，可得点C的轨迹为以C1,C2为焦点的靠近C2的一支.故选D.
　答案:D

例2 已知A(7,3)，双曲线C:$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则|PF| - |PA|的最大值是 （ ）
A. - 1
B. 2
C.$\sqrt{109}$
D. 9

答案：
解析:若C为双曲线右焦点C(3，
　0),则|PF|−|PC|=2a=4,|AC|=5,
　而|PAI≥|PC|一|AC|,仅当P,C,A
　　　　　　　　　　　　　　　 共线且A在P,C之间时等号成立，
　所以|PF|−|PA|≤|PF|−|PC|+
　|AC|=4+5=9,当P,C,A共线且A在P,C之间时等号成立.故选D.
　答案:D

巩固练习2 已知A(0,4)，双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P是双曲线左支上一点，则|PA| + |PF₂|的最小值为 （ ）
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11

答案： 解析:由双曲线$\frac{x²}{4}$−辽5=1,则α²=4,b²=5,即c²=a²+b²=9,且F1(−3,0),F2(3,0),
　　由题意，|PF2|−|PF1|=2a,
　　|PA|+|PF2|=|PA|+2a+|PF1|≥|AF1|+2a=
　　$\sqrt{3²+42}$+4=9,
　　当且仅当A,P,F1共线时，等号成立.故选C.
　答案:C