《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

题型二 由椭圆的几何性质求标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在x轴上，a = 6，e = $\frac{1}{3}$；
(2)长轴长等于20，离心率等于$\frac{3}{5}$.

答案： 例2　解析:
(1)因为椭圆的焦点在$x$轴上，设所求椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$，
　令$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$，则$e=\frac{c}{a}=\frac{c}{6}=\frac{1}{3}$，则$c = 2$，所以$b^{2}=a^{2}-c^{2}=36 - 4=32$，
　因此所求椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{32}=1$.
(2)设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为$2a$，$2b$，$2c$，
　由题意可得$2a = 20$，则$a = 10$，$\frac{c}{a}=\frac{c}{10}=\frac{3}{5}$，则$c = 6$，所以$b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$，
　当椭圆的焦点在$x$轴上时，则椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{64}=1$；当椭圆的焦点在$y$轴上时，则椭圆的标准方程为$\frac{y^{2}}{100}+\frac{x^{2}}{64}=1$.

巩固练习2 (1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3，0)，则椭圆的标准方程为______.
(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA = $\frac{2}{3}$，则椭圆的标准方程是______.

答案： 巩固练习2　解析:
(1)由题意，得$\begin{cases}2a + 2b = 18\\c = 3\\a^{2}=b^{2}+c^{2}\end{cases}$，
　解得$\begin{cases}a = 5\\b = 4\end{cases}$.
　因为椭圆的焦点在$x$轴上，
　所以椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$.
(2)因为椭圆的长轴长是6，$\cos\angle OFA=\frac{2}{3}$，所以点$A$不是长轴的端点(是短轴的端点).
　所以$|OF| = c$，$|AF| = a = 3$，
　所以$\frac{c}{3}=\frac{2}{3}$，所以$c = 2$，$b^{2}=3^{2}-2^{2}=5$，
　所以椭圆的标准方程是$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$或$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{9}=1$.
　答案:
(1)$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$　
(2)$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$或$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{9}=1$

题型三 求椭圆的离心率
【问题探究2】观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？

答案：
问题探究2　提示:利用离心率$e=\frac{c}{a}$来刻画椭圆的扁平程度.如图所示，在$Rt\triangle BF_2O$中，
　$\cos\angle BF_2O=\frac{c}{a}$，记$e=\frac{c}{a}$，
　
　则$0＜e＜1$，$e$越大，$\angle BF_2O$越小，椭圆越扁；$e$越小，$\angle BF_2O$越大，椭圆越接近于圆.

例3 设椭圆C:$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2 = 30°，求C的离心率.
变式练1 若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2 = 30°”改为“∠PF2F1 = 75°，∠PF1F2 = 45°”，求C的离心率.
变式练2 若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2 = 30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围.

答案：
例3　解析:方法一　由题意可设$|PF_2| = m$，结合条件可知$|PF_1| = 2m$，$|F_1F_2|=\sqrt{3}m$，故离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{2c}{2a}=\frac{|F_1F_2|}{|PF_1|+|PF_2|}=\frac{\sqrt{3}m}{2m + m}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
　方法二　由$PF_2\perp F_1F_2$可知$P$点的横坐标为$c$，将$x = c$代入椭圆方程可解得$y=\pm\frac{b^{2}}{a}$，所以$|PF_2|=\frac{b^{2}}{a}$. 又由$\angle PF_1F_2 = 30^{\circ}$可得$|F_1F_2|=\sqrt{3}|PF_2|$，故$2c=\sqrt{3}\cdot\frac{b^{2}}{a}$，变形可得$\sqrt{3}(a^{2}-c^{2})=2ac$，等式两边同除以$a^{2}$，得$\sqrt{3}(1 - e^{2})=2e$，解得$e=\frac{\sqrt{3}}{3}$或$e=-\sqrt{3}$(舍去).
变式练1　解析:在$\triangle PF_1F_2$中，
　$\because\angle PF_1F_2 = 45^{\circ}$，$\angle PF_2F_1 = 75^{\circ}$，
　$\therefore\angle F_1PF_2 = 60^{\circ}$，
　设$|PF_1| = m$，$|PF_2| = n$，$|F_1F_2| = 2c$，$m + n = 2a$，
　则在$\triangle PF_1F_2$中，有$\frac{m}{\sin75^{\circ}}=\frac{n}{\sin45^{\circ}}=\frac{2c}{\sin60^{\circ}}$，
　$\therefore\frac{m + n}{\sin75^{\circ}+\sin45^{\circ}}=\frac{2c}{\sin60^{\circ}}$，
　$\therefore e=\frac{c}{a}=\frac{2c}{2a}=\frac{\sin60^{\circ}}{\sin75^{\circ}+\sin45^{\circ}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$.
　
变式练2　解析:由题意，知$c＞b$，$\therefore c^{2}＞b^{2}$.
　又$b^{2}=a^{2}-c^{2}$，
　$\therefore c^{2}＞a^{2}-c^{2}$，即$2c^{2}＞a^{2}$.$\therefore e^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}＞\frac{1}{2}$，
　$\therefore e＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，又$0＜e＜1$，
　$\therefore C$的离心率的取值范围为$(\frac{\sqrt{2}}{2},1)$.

巩固练习3 (1)已知椭圆C:$\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}=1(a＞0,b＞0)$，O为椭圆的对称中心，F为椭圆的一个焦点，P为椭圆上一点，PF⊥x轴，PF与椭圆的另一个交点为点Q，△POQ为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ B.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ C.$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$ D.$\frac{3}{5}$
(2)已知椭圆$\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{9}=1(a＞9)$长轴的一个顶点到直线x - $\sqrt{3}y$ = 0的距离不小于2，则椭圆的离心率的取值范围为_________.

答案：
巩固练习3　解析:
(1)由题意可知椭圆的焦点在$x$轴，不妨设$F(c,0)$，$P(c,y_0)$，
　因为点$P(c,y_0)$在椭圆上，
　所以$\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{y_0^{2}}{b^{2}}=1$，解得$y_0=\pm\frac{b^{2}}{a}$，所以$P(c,\frac{b^{2}}{a})$，
　又$\triangle POQ$为等腰直角三角形，所以$|PF| = |OF|$，
　即$\frac{b^{2}}{a}=c$，即$a^{2}-c^{2}=ac$，所以$e^{2}+e - 1 = 0$，
　解得$e=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$e=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$(舍).故选B.
(2)长轴的顶点为$(\pm\sqrt{a},0)$，故$\frac{|\sqrt{a}-0|}{2}\geqslant2$即$a\geqslant16$，
　故离心率$e=\sqrt{\frac{a - 9}{a}}=\sqrt{1-\frac{9}{a}}\in[\frac{\sqrt{7}}{4},1)$.
　答案:
(1)B　
(2)$[\frac{\sqrt{7}}{4},1)$