《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

巩固练习2　(1)过坐标平面内两点$P_1(2,0)$，$P_2(0,3)$的直线方程是（ ）
A.$\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$ B.$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=0$
C.$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1$ D.$\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=1$
(2)直线$\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=1$与坐标轴围成的图形面积为________.

答案： 解析:
(1)由直线方程的截距式，得所求直线的方程为$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1$.故选C.
(2)直线$\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1$，故x轴上的截距为2,y轴上的截距为-3，所以面积为$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot |-3| = 3$.
　答案:
(1)C　
(2)3

例3　已知过点$P(4,1)$的直线$l$与$x$轴，$y$轴的正半轴分别交于$A$，$B$两点，$O$为坐标原点，求$\triangle AOB$面积的最小值及此时直线$l$的方程.

答案： 解析:由题意可知，直线l的斜率存在且不为零，且直线不过原点，
　可设直线l的方程为$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ (a＞0,b＞0),
　因为直线过P(4,1)，所以$\frac{4}{a} + \frac{1}{b} = 1$，而$1 = \frac{4}{a} + \frac{1}{b} \geqslant 2\sqrt{\frac{4}{ab}} = \frac{4}{\sqrt{ab}}$，所以ab≥16，
　所以$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}ab\geqslant8$，当且仅当$\frac{4}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{2}$，即a = 8,b = 2时等号成立，
　所以△AOB面积的最小值为8,此时直线l的方程为$\frac{x}{8} + \frac{y}{2} = 1$，即x + 4y - 8 = 0.

巩固练习3　直线$l$过点$P(\frac{4}{3},2)$，且与$x$轴，$y$轴的正半轴分别交于$A$，$B$两点，$O$为坐标原点.当$\triangle AOB$的周长为12时，求直线$l$的方程.

答案：
解析:设直线l的方程为$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ (a＞0,b＞0),由题意知,a + b + $\sqrt{a²+b²}$ = 12.
　所以$\sqrt{a²+b²}$ = 12 - a - b.
　两边平方整理得ab - 12(a + b) + 72 = 0　①.
　又因为直线l过点P($\frac{4}{3}$,2).
　所以$\frac{4}{3a} + \frac{2}{b} = 1$，整理得3ab = 6a + 4b ②.
　由①②得$\begin{cases}b = 3, \\ a = 4, \end{cases}$或$\begin{cases}b = \frac{9}{2}, \\ a = \frac{12}{5}, \end{cases}$
　所以直线l的方程为3x + 4y - 12 = 0或15x + 8y - 36 = 0.

1.下列直线方程是两点式方程的是（ ）
A.$y = kx + b$
B.$y - y_0 = k(x - 2x_0)$
C.$\frac{x}{a}+\frac{y}{2b}=1$
D.$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1}=\frac{x - x_1}{x_2 - x_1}(x_1≠x_2,y_1≠y_2)$

答案： 解析:对于选项A:y = kx + b是斜截式方程,故错误;
　对于选项B:y - y_0 = k(x - 2x_0)是点斜式方程,故错误;
　对于选项C:$\frac{x}{a} + \frac{y}{2b} = 1$是截距式方程,故错误;
　对于选项D:$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$(x_1≠x_2,y_1≠y_2)是两点式方程，故正确.故选D.
　答案:D

2.在$x$轴，$y$轴上的截距分别是$-3$，$4$的直线方程是（ ）
A.$\frac{x}{-3}+\frac{y}{4}=1$
B.$\frac{x}{3}+\frac{y}{-4}=1$
C.$\frac{x}{-3}-\frac{y}{4}=1$
D.$\frac{x}{4}+\frac{y}{-3}=1$

答案： 解析:由截距式方程可得，所求直线方程为$\frac{x}{-3} + \frac{y}{4} = 1$.故选A.
　答案:A

3.过点$A(-2,2)$和点$B(4,-1)$的直线在$y$上的截距为（ ）
A.1
B.2
C.-1
D.-2

答案： 解析:过点A(-2,2)和点B(4,-1)的直线方程为$\frac{y + 1}{x - 4} = \frac{2 + 1}{-2 - 4}$即y = -$\frac{1}{2}$x + 1,故直线在y轴上的截距为1.故选A.
答案:A

4.平面直角坐标系中，已知直线$l$过点$(0,4)$，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线$l$的方程为________.

答案： 解析:依题意，直线l的两个截距都不为0，故设直线l为$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$，则$\begin{cases}\frac{0}{a} + \frac{4}{b} = 1, \\ \frac{1}{2}|a||b| = 4, \end{cases}$解得$\begin{cases}a = \pm2, \\ b = 4, \end{cases}$
　所以直线l为$\frac{x}{\pm2} + \frac{y}{4} = 1$，即y = ±2x + 4.
　答案:y = ±2x + 4