《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

巩固练习2 如图，已知正方体ABCD - A1B1C1D1中A，B，D，A1的坐标分别为A(0，0，0)，B(a，0，0)，D(0，a，0)，A1(0，0，a).分别求平面ABCD与平面BDA1的一个法向量.

答案： 解析:由于$z$轴垂直于平面$ABCD$，而$z$轴可用方向向量$\overrightarrow{AA_1}=(0,0,a)$表示，
因此$(0,0,a)$是平面$ABCD$的一个法向量。
设$n=(x,y,z)$是平面$BDA_1$的一个法向量。
由已知得$\overrightarrow{BD}=(-a,a,0)$，$\overrightarrow{BA_1}=(-a,0,a)$，
因而$\begin{cases}(-a,a,0)\cdot(x,y,z)=-ax + ay = 0\\(-a,0,a)\cdot(x,y,z)=-ax + az = 0\end{cases}$。
取$x = 1$，得$y = z = 1$，则$n=(1,1,1)$是平面$BDA_1$的一个法向量。

1.两条不同直线l1，l2的方向向量分别为m=(2，1，-2)，n=(1，1，1)，则这两条直线 （ ）
A.平行
B.垂直
C.异面
D.相交或异面

答案： 解析:因为$m=(2,1,-2)$，$n=(1,1,1)$，$m\cdot n = 2\times1 + 1\times1 - 2\times1 = 1\neq0$，故直线$l_1$，$l_2$不垂直，又$\frac{2}{1}\neq\frac{1}{1}\neq\frac{-2}{1}$，故直线$l_1$，$l_2$不平行，所以两条直线相交或异面。故选D。
答案:D

2.已知直线l的方向向量为a=(1，2，m)，平面α的法向量为b=(2，n，2)，若l⊥α，则m + n = （ ）
A.2
B.3
C.4
D.5

答案： 解析:因为$l\perp\alpha$，所以$a// b$，显然$n\neq0$，所以$\frac{1}{2}=\frac{2}{n}=\frac{m}{2}$，解得$m = 1$，$n = 4$，故$m + n = 5$。故选D。
答案:D

3.(多选)平面α经过三点O(0，0，0)，A(2，2，0)，B(0，0，2)，则平面α的法向量可以是 （ ）
A.(-1，1，0)
B.(1，0，1)
C.(-2，2，0)
D.(0，2，2)

答案： 解析:由题意可得$\overrightarrow{OA}=(2,2,0)$，$\overrightarrow{OB}=(0,0,2)$，设平面$\alpha$的法向量$n=(x,y,z)$，则$\begin{cases}n\cdot\overrightarrow{OA}=2x + 2y = 0\\n\cdot\overrightarrow{OB}=2z = 0\end{cases}$，得$z = 0$，取$x = -1$，则$y = 1$，得$n=(-1,1,0)$是平面$\alpha$的一个法向量，即A正确；C项的$(-2,2,0)=2n$也是平面$\alpha$的一个法向量，即C正确；B、D选项中，向量均与$n=(-1,1,0)$不共线。故可以作平面$\alpha$的法向量的是A、C。故选AC。
答案:AC

4.在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，1，t)，B(2，2，4)，若平面ABC的一个法向量为m=(3，1，-1)，则直线AB的一个方向向量为_______.

答案： 解析:$\because A(1,1,t)$，$B(2,2,4)$，$\therefore\overrightarrow{AB}=(1,1,4 - t)$，
又平面$ABC$的一个法向量为$m=(3,1,-1)$，
$\therefore\overrightarrow{AB}\cdot m = 3 + 1 - 4 + t = 0$，解得$t = 0$，
$\therefore$直线$AB$的一个方向向量为$\overrightarrow{AB}=(1,1,4)$。
答案:$(1,1,4)$(答案不唯一)

[问题探究1] 由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？

答案： 提示:平行.

例1 如图所示，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM = $\frac{1}{4}$DB，DA = DP = 1，CD = 2，求证：MN//AP.

答案：
证明:证法一　由题意知，直线DA,DC,DP两两垂直，以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系，如图所示

则D(0,0,0),A(1,0,0),P(0,0,1),N(0,$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{4}$),M($\frac{1}{4}$,$\frac{1}{2}$,0)，所以$\overrightarrow{AP}$=(-1,0,1)，$\overrightarrow{MN}$=(-$\frac{1}{4}$,0,$\frac{1}{4}$)，所以$\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AP}$，又M$\notin$AP，故MN//AP.
证法二　由题意可得$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MD}$+$\overrightarrow{DN}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BD}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{DP}$)=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BD}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{DC}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{DP}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{DP}$=$\frac{1}{4}$($\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DP}$)=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AP}$，又M$\notin$AP，所以MN//AP.