《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

【问题探究1】空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l？

答案：
提示：如图①，a是直线l的方向向量，在直线l上取$\overrightarrow{AB}=a$，设P是直线\l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得$\overrightarrow{AP}=ta$，即$\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}$。如图②，取空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+ta$ ①，或
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}$ ②。①式和②式都称为空间直线的向量表示式。由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定。

例1 （1）已知直线l的一个方向向量m=(2，-1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(-1，2，z)两点，则y - z = （ ）
A.0 B.1
C.$\frac{3}{2}$ D.3
（2）在如图所示的坐标系中，ABCD - A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为_______，直线BC1的一个方向向量为_______.

答案： 解析:
(1)$\because A(0,y,3)$和$B(-1,2,z)$，$\therefore\overrightarrow{AB}=(-1,2 - y,z - 3)$，
$\because$直线$l$的一个方向向量为$m=(2,-1,3)$，故设$\overrightarrow{AB}=km$。
$\therefore\begin{cases}-1 = 2k\\2 - y = -k\\z - 3 = 3k\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\frac{1}{2}\\y = \frac{3}{2}\\z = \frac{3}{2}\end{cases}$，$\therefore y - z = 0$。
(2)因为$DD_1// AA_1$，$\overrightarrow{AA_1}=(0,0,1)$，
故直线$DD_1$的一个方向向量为$(0,0,1)$；
因为$BC_1// AD_1$，$\overrightarrow{AD_1}=(0,1,1)$，
故直线$BC_1$的一个方向向量为$(0,1,1)$。
答案:
(1)A　
(2)$(0,0,1)$　$(0,1,1)$(答案不唯一)

巩固练习1 （1）已知直线l1的方向向量为a=(2，4，x)，直线l2的方向向量为b=(2，y，4)，且l1⊥l2，则x + y = （ ）
A.-1 B.1
C.0 D.无法确定
（2）已知A(1，2，3)，B(-2，2，1)在直线l上，写出直线l的一个方向向量n = __________.(坐标表示)

答案： 解析:
(1)因为$l_1\perp l_2$，即$a\perp b$，则$a\cdot b = 2\times2 + 4y + 4x = 0$，所以$x + y = -1$。故选A。
(2)由题意，在直线$l$中，$A(1,2,3)$，$B(-2,2,1)$，$\therefore$直线$l$的一个方向向量$n=\overrightarrow{AB}=(-3,0,-2)$。
答案:
(1)A　
(2)$(-3,0,-2)$(答案不唯一)

【问题探究2】我们知道，给定空间一点A和一个向量a，那么过点A且以a为方向向量的直线是唯一确定的.类似的过点A且与向量a垂直的平面也是唯一的，能否以点A和向量a确定一个平面呢？

答案： 提示，如图，直线l⊥a，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量，给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a，$\overrightarrow{AP}=0$}

例2 如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB = AP = 1，AD = $\sqrt{3}$，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.

答案：
解析:因为$PA\perp$平面$ABCD$，底面$ABCD$为矩形，所以$AB$，$AD$，$AP$两两垂直。
　　　　　　　　　　　　　 如图所示，以$A$为坐标原点，$AB$为$x$轴，$AD$为$y$轴，$AP$为$z$轴，建立空间直角坐标系$A - xyz$，
则$A(0,0,0)$，$C(1,\sqrt{3},0)$，$P(0,0,1)$，$D(0,\sqrt{3},0)$，$E(0,\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$，
于是$\overrightarrow{AC}=(1,\sqrt{3},0)$，$\overrightarrow{AE}=(0,\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$，
设平面$ACE$的一个法向量为$n=(x,y,z)$，
则$\begin{cases}n\cdot\overrightarrow{AC}=0\\n\cdot\overrightarrow{AE}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}x + \sqrt{3}y = 0\\\frac{\sqrt{3}}{2}y + \frac{1}{2}z = 0\end{cases}$，所以$\begin{cases}x = -\sqrt{3}y\\z = -\sqrt{3}y\end{cases}$，
令$y = -1$，则$x = \sqrt{3}$，$z = \sqrt{3}$，即$n=(\sqrt{3},-1,\sqrt{3})$，
所以平面$ACE$的一个法向量$n=(\sqrt{3},-1,\sqrt{3})$。