《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

【问题探究1】如图，在空间中任取一点O，作$\overrightarrow{OM}=a$，$\overrightarrow{ON}=b$，过点M作直线ON的垂线，垂足为$M_1$，回答下列两个问题：

(1)设与b方向相同的单位向量为e，那么向量a在向量b上的投影向量$\overrightarrow{OM_1}$等于什么？
(2)怎样求线段$MM_1$的长度？长度的表达式是什么？

答案： 问题探究1　提示:
(1)投影向量$\overrightarrow{OM_{1}} = |\boldsymbol{a}| \cos \langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle \boldsymbol{e}=|\boldsymbol{a}| \cos \langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{e}\rangle \boldsymbol{e}=(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}$.
(2)利用勾股定理，$MM_{1}=\sqrt{|\overrightarrow{OM}|^{2}-|\overrightarrow{OM_{1}}|^{2}}=\sqrt{\boldsymbol{a}^{2}-(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e})^{2}\boldsymbol{e}^{2}}=\sqrt{\boldsymbol{a}^{2}-(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e})^{2}}$.

例1 如图，在空间直角坐标系中有长方体$ABCD - A'B'C'D'$，$AB = 1$，$BC = 2$，$AA' = 3$，求点B到直线$A'C$的距离.

答案： 例1　解析:因为$AB = 1$，$BC = 2$，$AA' = 3$，所以$A'(0,0,3)$，$C(1,2,0)$，$B(1,0,0)$，
所以直线$A'C$的方向向量$\overrightarrow{A'C}=(1,2,-3)$.
又$\overrightarrow{BC}=(0,2,0)$，
所以$\overrightarrow{BC}$在$\overrightarrow{A'C}$上的投影长为$\frac{|\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{A'C}|}{|\overrightarrow{A'C}|}=\frac{4}{\sqrt{14}}$.
所以点$B$到直线$A'C$的距离
$d=\sqrt{|\overrightarrow{BC}|^{2}-\left|\frac{\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{A'C}}{|\overrightarrow{A'C}|}\right|^{2}}=\sqrt{4 - \frac{16}{14}}=\frac{2\sqrt{35}}{7}$.

巩固练习1 如图，在正三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$中，若$BB_1=\sqrt{2}AB = 2\sqrt{2}$，求点C到直线$AB_1$的距离.

答案：
巩固练习1　解析:取$AC$的中点$D$，建立如图空间直角坐标系，
则$A(0,-1,0)$，$B_{1}(\sqrt{3},0,2\sqrt{2})$，$C(0,1,0)$，
所以$\overrightarrow{AB_{1}}=(\sqrt{3},1,2\sqrt{2})$，$\overrightarrow{CA}=(0,-2,0)$.
直线$AB_{1}$的一个单位方向向量$\boldsymbol{s}=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6},\frac{\sqrt{6}}{3})$，
所以点$C$到直线$AB_{1}$的距离$d$
$=\sqrt{|\overrightarrow{CA}|^{2}-|\overrightarrow{CA}\cdot\boldsymbol{s}|^{2}}$
$=\sqrt{(-2)^{2}-\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{33}}{3}$.

题型二 点到平面的距离
【问题探究2】如图，平面$\alpha$的法向量为n，A是平面$\alpha$内的定点，P是平面$\alpha$外一点，过点P作平面$\alpha$的垂线l，交平面$\alpha$于点Q，从向量投影的角度来看，点P到平面$\alpha$的距离可以看成什么？对应的表达式是什么？

答案： 问题探究2　提示:点$P$到平面$\alpha$的距离可以看成是向量$\overrightarrow{AP}$在法向量$\boldsymbol{n}$上的投影向量$\overrightarrow{QP}$的长度，对应的表达式是$|\overrightarrow{QP}|=\frac{|\overrightarrow{AP}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}$.

例2 如图所示，已知四棱锥$E - ABCD$中，$ABCD$是直角梯形，$\angle ABC=\angle BAD = 90^{\circ}$，平面$EAB\perp$平面$ABCD$，$AB = BC = BE = 6$，$AD = 3$，$AE = 6\sqrt{2}$.
(1)证明：$BE\perp$平面$ABCD$；
(2)求B到平面$ADE$的距离.

答案：
例2　解析:
(1)证明:由于$AB^{2}+BE^{2}=AE^{2}$，所以$BE\perp AB$.
由于平面$EAB\perp$平面$ABCD$，且交线为$AB$，
$BE\subset$平面$EAB$，所以$BE\perp$平面$ABCD$.
(2)由于$BC\subset$平面$ABCD$，所以$BE\perp BC$，
所以$BC$，$AB$，$BE$两两相互垂直，由此建立如图所示空间直角坐标系，
则$C(6,0,0)$，$A(0,6,0)$，$E(0,0,6)$，$D(3,6,0)$，
故$\overrightarrow{AD}=(3,0,0)$，$\overrightarrow{AE}=(0,-6,6)$，
设平面$ADE$的法向量为$\boldsymbol{m}=(x,y,z)$，
则$\begin{cases}\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{AD}=3x = 0,\\\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{AE}=-6y + 6z = 0,\end{cases}$
故可设$\boldsymbol{m}=(0,1,1)$，又$\overrightarrow{BA}=(0,6,0)$，
所以$B$到平面$ADE$的距离为$\frac{|\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{BA}|}{|\boldsymbol{m}|}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$.

巩固练习2 如图，在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，棱长为2，E为$BB_1$的中点.
(1)求证：$BC_1//$平面$AD_1E$；
(2)求点D到平面$AD_1E$的距离.

答案：
巩固练习2　解析:
(1)证明:在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$AB// CD// C_{1}D_{1}$，且$AB = CD = C_{1}D_{1}$，
所以四边形$ABC_{1}D_{1}$为平行四边形，即$BC_{1}// AD_{1}$，
又$BC_{1}\not\subset$平面$AD_{1}E$，$AD_{1}\subset$平面$AD_{1}E$，
所以$BC_{1}//$平面$AD_{1}E$.
(2)以点$A$为坐标原点，$AD$，$AB$，$AA_{1}$所在直线分别为$x$轴，$y$轴，$z$轴建立空间直角坐标系$Axyz$，
则$A(0,0,0)$，$D(2,0,0)$，$D_{1}(2,0,2)$，$E(0,2,1)$，$\overrightarrow{AD_{1}}=(2,0,2)$，$\overrightarrow{AE}=(0,2,1)$，$\overrightarrow{AD}=(2,0,0)$，
设平面$AD_{1}E$的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，
则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AD_{1}}=2x + 2z = 0,\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AE}=2y + z = 0,\end{cases}$
令$y = 1$，得$\boldsymbol{n}=(2,1,-2)$，
点$D$到平面$AD_{1}E$的距离$d=\frac{|\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AD}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{2\times2}{\sqrt{2^{2}+1^{2}+(-2)^{2}}}=\frac{4}{3}$，
所以点$D$到平面$AD_{1}E$的距离为$\frac{4}{3}$.