《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

题型三 直线平行与垂直关系的综合应用
例3 已知$A(-4,3)$，$B(2,5)$，$C(6,3)$，$D(-3,0)$四点，若顺次连接$A$，$B$，$C$，$D$四点，试判定四边形$ABCD$的形状.

答案：
例3　解析:$A$，$B$，$C$，$D$四点在坐标平面内的位置如图，
由斜率公式可得
$k_{AB}=\frac{5 - 3}{2-(-4)}=\frac{1}{3}$，$k_{CD}=\frac{0 - 3}{-3 - 6}=\frac{1}{3}$，$k_{AD}=\frac{0 - 3}{-3-(-4)}=-3$，$k_{BC}=\frac{3 - 5}{6 - 2}=-\frac{1}{2}$，
$\therefore k_{AB}=k_{CD}$，由图可知$AB$与$CD$不重合，$\therefore AB// CD$.
由$k_{AD}\neq k_{BC}$，$\therefore AD$与$BC$不平行.
又$k_{AB}\cdot k_{AD}=\frac{1}{3}\times(-3)=-1$，$\therefore AB\perp AD$.
故四边形$ABCD$为直角梯形.

巩固练习3 以$A(5,-1)$，$B(1,1)$，$C(2,3)$为顶点的三角形是（ ）
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.以$A$为直角顶点的直角三角形
D.以$B$为直角顶点的直角三角形

答案： 巩固练习3　解析:直线$AB$的斜率$k_{AB}=\frac{1-(-1)}{1 - 5}=-\frac{1}{2}$，
直线$BC$的斜率$k_{BC}=\frac{3 - 1}{2 - 1}=2$，由$k_{AB}\cdot k_{BC}=-1$，所以$AB\perp BC$，故$\triangle ABC$是以$B$为直角顶点的直角三角形. 故选D.
答案:D

随堂练习
1.已知直线$l_1$的倾斜角为$30^{\circ}$，直线$l_1// l_2$，则直线$l_2$的斜率为（ ）
A.$\sqrt{3}$
B.$-\sqrt{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$-\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： 解析：因为直线$l_1$的倾斜角为$30^{\circ}$，所以$k_{l_1}=\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又$l_1// l_2$，所以$k_{l_2}=k_{l_1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. 故选C.
答案：C

2.(多选)已知直线$l_1$的斜率为$a$，$l_1\perp l_2$，则$l_2$的斜率可以为（ ）
A.$\frac{1}{a}$
B.$-\frac{1}{a}$
C.$a$
D.不存在

答案： 解析：当$a\neq0$时，由$k_1\cdot k_2=-1$知，$k_2=-\frac{1}{a}$，当$a = 0$时，$l_2$的斜率不存在. 故选BD.
答案：BD

3.若直线$l_1$的倾斜角为$135^{\circ}$，直线$l_2$经过点$P(-2,-1)$，$Q(3,-6)$，则直线$l_1$与$l_2$的位置关系是（ ）
A.垂直
B.平行
C.重合
D.平行或重合

答案： 解析：直线$l_1$的倾斜角为$135^{\circ}$，
故斜率$k_{l_1}=\tan135^{\circ}=-1$.
由$l_2$经过点$P(-2,-1)$，$Q(3,-6)$，
得$k_{l_2}=\frac{-6-(-1)}{3-(-2)}=-1$，所以$k_{l_1}=k_{l_2}$，
所以直线$l_1$与$l_2$平行或重合. 故选D.
答案：D

4.若经过点$(m,3)$和$(2,m)$的直线$l$与斜率为$-4$的直线互相垂直，则$m$的值是______.

答案： 解析：由题意可知$k_l=\frac{1}{4}$，又因为$k_l=\frac{m - 3}{2 - m}$，所以$\frac{m - 3}{2 - m}=\frac{1}{4}$，解得$m=\frac{14}{5}$.
答案：$\frac{14}{5}$