《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是(0,-2)，(0,2)，并且椭圆经过点$(-\frac{3}{2},\frac{5}{2})$；
（2）经过点$P(\frac{1}{3},\frac{1}{3})$，$Q(0,-\frac{1}{2})$.

答案： 解析:
(1)因为椭圆的焦点在$y$轴上，所以设它的标准方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$，由椭圆的定义知，$2a=\sqrt{(-\frac{3}{2})^{2}+(\frac{5}{2}+2)^{2}}+\sqrt{(-\frac{3}{2})^{2}+(\frac{5}{2}-2)^{2}}=2\sqrt{10}$，即$a = \sqrt{10}$，又$c = 2$，所以$b^{2}=a^{2}-c^{2}=6$，所以所求椭圆的标准方程为$\frac{y^{2}}{10}+\frac{x^{2}}{6}=1$.
(2)方法一 ①当椭圆焦点在$x$轴上时，可设椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$.依题意，有$\begin{cases}\frac{(\frac{1}{3})^{2}}{a^{2}}+\frac{(\frac{1}{3})^{2}}{b^{2}} = 1 \\0+\frac{(-\frac{1}{2})^{2}}{b^{2}} = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a^{2}=\frac{1}{5} \\b^{2}=\frac{1}{4}\end{cases}$.由$a＞b＞0$知不符合题意，故舍去；②当椭圆焦点在$y$轴上时，可设椭圆的标准方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$.依题意，有$\begin{cases}\frac{(\frac{1}{3})^{2}}{a^{2}}+\frac{(\frac{1}{3})^{2}}{b^{2}} = 1 \\\frac{(-\frac{1}{2})^{2}}{a^{2}}+0 = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a^{2}=\frac{1}{4} \\b^{2}=\frac{1}{5}\end{cases}$.所以所求椭圆的标准方程为$\frac{y^{2}}{\frac{1}{4}}+\frac{x^{2}}{\frac{1}{5}} = 1$.方法二 设椭圆的方程为$mx^{2}+ny^{2}=1(m＞0,n＞0,m\neq n)$.则$\begin{cases}\frac{1}{9}m+\frac{1}{9}n = 1 \\\frac{1}{4}n = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 5 \\n = 4\end{cases}$.所以所求椭圆的方程为$5x^{2}+4y^{2}=1$，故椭圆的标准方程为$\frac{y^{2}}{\frac{1}{4}}+\frac{x^{2}}{\frac{1}{5}} = 1$.

巩固练习2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
（1）两个焦点坐标分别是(0,5)，(0,-5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；
（2）求焦点在坐标轴上，且经过两点$(2,-\sqrt{2})$和$(-1,\frac{\sqrt{14}}{2})$的椭圆的标准方程.

答案： 解析:
(1)因为椭圆的焦点在$y$轴上，所以设它的标准方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$，因为$2a = 26$，$2c = 10$，所以$a = 13$，$c = 5$.所以$b^{2}=a^{2}-c^{2}=144$.所以所求椭圆的标准方程为$\frac{y^{2}}{169}+\frac{x^{2}}{144}=1$.
(2)设椭圆的一般方程为$Ax^{2}+By^{2}=1(A＞0,B＞0,A\neq B)$，分别将两点的坐标$(2,-\sqrt{2})$，$(-1,\frac{\sqrt{14}}{2})$代入椭圆的一般方程，得$\begin{cases}4A + 2B = 1 \\A+\frac{7}{2}B = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}A=\frac{1}{8} \\B=\frac{1}{4}\end{cases}$，所以所求椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$.

例3 已知P为椭圆$\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1$上一点，F₁，F₂是椭圆的左、右焦点，∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面积.

变式练 若将本例中“∠F₁PF₂=60°”变为“∠PF₁F₂=90°”，求△F₁PF₂的面积.

答案： 解析:由已知得$a = 2\sqrt{3}$，$b = \sqrt{3}$，所以$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{12 - 3}=3$，从而$|F_{1}F_{2}| = 2c = 6$，在$\triangle F_{1}PF_{2}$中，$|F_{1}F_{2}|^{2}=|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-2|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|\cos60^{\circ}$，即$36=|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|$. ①由椭圆的定义得$|PF_{1}|+|PF_{2}| = 4\sqrt{3}$，即$48=|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}+2|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|$. ②由①②得$|PF_{1}|\cdot|PF_{2}| = 4$.所以$S_{\triangle F_{1}PF_{2}}=\frac{1}{2}|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|\cdot\sin60^{\circ}=\sqrt{3}$.
@@解析：由已知得$a = 2\sqrt{3}$，$b = \sqrt{3}$，所以$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{12 - 3}=3$.从而$|F_{1}F_{2}| = 2c = 6$.在$\triangle F_{1}PF_{2}$中，由勾股定理可得$|PF_{2}|^{2}=|PF_{1}|^{2}+|F_{1}F_{2}|^{2}$，即$|PF_{2}|^{2}=|PF_{1}|^{2}+36$，又由椭圆定义知$|PF_{1}|+|PF_{2}| = 2\times2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，所以$|PF_{2}| = 4\sqrt{3}-|PF_{1}|$.从而有$(4\sqrt{3}-|PF_{1}|)^{2}=|PF_{1}|^{2}+36$，解得$|PF_{1}|=\frac{\sqrt{3}}{2}$.所以$\triangle F_{1}PF_{2}$的面积$S=\frac{1}{2}\cdot|PF_{1}|\cdot|F_{1}F_{2}|=\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}\times6=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，即$\triangle F_{1}PF_{2}$的面积是$\frac{3\sqrt{3}}{2}$.