《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

例4　如图，在正四棱柱$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$AB = 2$，$AA_{1} = 4$.点$A_{2}$，$B_{2}$，$C_{2}$，$D_{2}$分别在棱$AA_{1}$，$BB_{1}$，$CC_{1}$，$DD_{1}$上，$AA_{2} = 1$，$BB_{2} = DD_{2} = 2$，$CC_{2} = 3$.
(1)证明：$B_{2}C_{2}// A_{2}D_{2}$；
(2)点P在棱$BB_{1}$上，当二面角$P - A_{2}C_{2}-D_{2}$为$150^{\circ}$时，求$B_{2}P$.

[规范解答]
(1)以C为坐标原点，$CD$，$CB$，$CC_{1}$所在直线为$x$，$y$，$z$轴，建立空间直角坐标系，如图， (1分)→建系
$C(0,0,0)$，$C_{2}(0,0,3)$，$B_{2}(0,2,2)$，$D_{2}(2,0,2)$，$A_{2}(2,2,1)$；→写出点的坐标

$\therefore\overrightarrow{B_{2}C_{2}}=(0,-2,1)$，$\overrightarrow{A_{2}D_{2}}=(0,-2,1)$；→写出向量的坐标
$\therefore\overrightarrow{B_{2}C_{2}}//\overrightarrow{A_{2}D_{2}}$，
又$B_{2}C_{2}$，$A_{2}D_{2}$不在同一条直线上，
$\therefore B_{2}C_{2}// A_{2}D_{2}$. (3分)→线线平行
(2)设$P(0,2,\lambda)(0\leqslant\lambda\leqslant4)$，
则$\overrightarrow{A_{2}C_{2}}=(-2,-2,2)$，$\overrightarrow{PC_{2}}=(0,-2,3 - \lambda)$，$\overrightarrow{D_{2}C_{2}}=(-2,0,1)$； (5分)→设点写出向量的坐标
设平面$PA_{2}C_{2}$的法向量$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{A_{2}C_{2}}=-2x - 2y + 2z = 0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{PC_{2}}=-2y+(3 - \lambda)z = 0\end{cases}$，
令$z = 2$，得$y = 3 - \lambda$，$x = \lambda - 1$，
$\therefore\boldsymbol{n}=(\lambda - 1,3 - \lambda,2)$； (7分)→求出平面的法向量
设平面$A_{2}C_{2}D_{2}$的法向量$\boldsymbol{m}=(a,b,c)$，则$\begin{cases}\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{A_{2}C_{2}}=-2a - 2b + 2c = 0\\\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{D_{2}C_{2}}=-2a + c = 0\end{cases}$，
令$a = 1$，得$b = 1$，$c = 2$，
$\therefore\boldsymbol{m}=(1,1,2)$； (9分)→求出平面的法向量
$\therefore\vert\cos\langle\boldsymbol{n},\boldsymbol{m}\rangle\vert=\frac{\vert\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{m}\vert}{\vert\boldsymbol{n}\vert\vert\boldsymbol{m}\vert}=\frac{6}{\sqrt{6}\sqrt{4+(\lambda - 1)^{2}+(3 - \lambda)^{2}}}=\vert\cos150^{\circ}\vert=\frac{\sqrt{3}}{2}$； (10分)→应用向量夹角公式
化简可得，$\lambda^{2}-4\lambda + 3 = 0$，
解得$\lambda = 1$或$\lambda = 3$，
$\therefore P(0,2,1)$或$P(0,2,3)$，
$\therefore B_{2}P = 1$； (12分)→应用两点间的距离公式求解

答案：