《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

题型三 直线一般式方程的应用
例 3 设直线 l 的方程为$(m^2 - 2m - 3)x - (2m^2 + m - 1)y + 6 - 2m = 0$.
(1)已知直线 l 在 x 轴上的截距为 -3，求 m 的值；
(2)已知直线 l 的斜率为 1，求 m 的值.

答案： 例3　解析:
(1)由题意知$m^2 - 2m - 3\neq0$，即$m\neq3$且$m\neq - 1$，令$y = 0$，得$x=\frac{2m - 6}{m^2 - 2m - 3}$，$\therefore\frac{2m - 6}{m^2 - 2m - 3}=-3$，得$m = -\frac{5}{3}$或$m = 3$（舍去）.$\therefore m = -\frac{5}{3}$.
(2)由题意知，$2m^2 + m - 1\neq0$，即$m\neq\frac{1}{2}$且$m\neq - 1$.由直线$l$化为斜截式方程得$y=\frac{m^2 - 2m - 3}{2m^2 + m - 1}x+\frac{6 - 2m}{2m^2 + m - 1}$，则$\frac{m^2 - 2m - 3}{2m^2 + m - 1}=1$，得$m = -2$或$m = -1$（舍去）.$\therefore m = -2$.

巩固练习 3 设直线 l 的方程为(a + 1)x + y + 2 - a = 0(a∈R).
(1)若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程；
(2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围.

答案： 巩固练习3　解析:
(1)当直线$l$过原点时，直线$l$在$x$轴和$y$轴上的截距均为$0$，$\therefore a = 2$，此时直线$l$的方程为$3x + y = 0$；当直线$l$不过原点时，$a\neq2$，直线$l$在$x$轴和$y$轴上的截距分别为$\frac{a - 2}{a + 1}(a\neq - 1)$，$a - 2$，$\therefore\frac{a - 2}{a + 1}=a - 2$，解得$a = 0$或$a = 2$（舍去），$\therefore$直线$l$的方程为$x + y + 2 = 0$.综上所述，直线$l$的方程为$3x + y = 0$或$x + y + 2 = 0$.
(2)将$l$的方程化为$y = -(a + 1)x + a - 2$，$\because l$不经过第二象限，$\therefore\begin{cases}-(a + 1)\geqslant0\\a - 2\leqslant0\end{cases}$，解得$a\leqslant - 1$.综上可知，实数$a$的取值范围是$(-\infty,-1]$.

随堂练习
1.直线 x + y - 1 = 0 的倾斜角是 （ ）
A.45°
B.135°
C.120°
D.90°

答案： 解析：由$x + y - 1 = 0$得$y = -x + 1$，故斜率为$-1$，则倾斜角为$135^{\circ}$.故选B.
答案：B

2.直线 3x - y + 6 = 0 与两坐标轴所围成三角形的面积为 （ ）
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.3
D.6

答案： 解析：令$x = 0$，则$y = 6$；令$y = 0$，则$x = -2$；所以两坐标轴所围成三角形的面积为$\frac{1}{2}\times6\times2 = 6$.故选D.
答案：D

3.已知过点 P(0，-1)的直线 l 的方向向量 k = (-1，1)，则 l 的方程为 （ ）
A.x + y - 1 = 0
B.x + y + 1 = 0
C.x - y - 1 = 0
D.x - y + 1 = 0

答案： 解析：直线$l$的方向向量$\boldsymbol{k}=(-1,1)$，则$l$的斜率为$-1$，又直线$l$过点$P(0,-1)$，$l$的方程为$y = -x - 1$，即$x + y + 1 = 0$.故选B.
答案：B

4.在△ABC 中，A(-3，1)，AB 边上的高 CD 所在直线方程为 3x + y - 11 = 0，则直线 AB 的方程为__________.

答案： 解析：由题意，$CD$所在直线方程为$3x + y - 11 = 0$，即$y = -3x + 11$，斜率为$-3$，所以直线$AB$的斜率为$\frac{1}{3}$，所以直线$AB$的方程为$y - 1=\frac{1}{3}(x + 3)$，即$x - 3y + 6 = 0$.
答案：$x - 3y + 6 = 0$