《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

【问题探究 4】 对于不共线的三点 A，B，C 和平面 ABC 外的一点 O，空间一点 P 满足关系式$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$，则点 P 在平面 ABC 内的充要条件是什么？

答案： 问题探究4提示:$x + y+z = 1$.
　证明如下:
(1)充分性
∵$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$可变形为$\overrightarrow{OP}=(1 - y - z)\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$，
∴$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=y(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})+z(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})$，
∴$\overrightarrow{AP}=y\overrightarrow{AB}+z\overrightarrow{AC}$，
∴点$P$与$A,B,C$共面.
(2)必要性
∵点$P$在平面$ABC$内，不共线的三点$A,B,C$，
∴存在有序实数对$(m,n)$使$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC},\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=m(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})+n(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})$，
∴$\overrightarrow{OP}=(1 - m - n)\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}+n\overrightarrow{OC}$，
∵点$O$在平面$ABC$外，
∴$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$不共面，
　又$\because\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$，
∴$x = 1 - m - n,y = m,z = n$，
∴$x + y+z = 1$.

例 3 在下列条件中，一定能使空间中的四点 M，A，B，C 共面的是 （ ）
A. $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$
B. $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$
C. $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\boldsymbol{0}$
D. $\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{0}$

答案： 例3解析:A选项：$2 - 1 - 1 = 0\neq1$，所以A错. B选项：$\frac{1}{5}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{31}{30}\neq1$，所以B错. C选项：原式可整理为$\overrightarrow{MA}=-2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}$，所以C正确. D选项：原式可整理为$\overrightarrow{OM}=-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$，$-1 - 1 - 1=-3\neq1$，故D错. 故选C.
答案：C

巩固练习 3 已知 A，B，C，D 是平面$\alpha$内不共线的四点，点 O 为平面$\alpha$外一点，若$\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}+\frac{x}{6}\overrightarrow{OD}$，则$x =$ （ ）
A. $\frac{1}{6}$ B. $\frac{1}{3}$ C. 1 D. 3

答案： 巩固练习3解析:因为$A,B,C,D$四点共面，且$\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}+\frac{x}{6}\overrightarrow{OD}$，所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{x}{6}=1$，解得$x = 1$. 故选C.
答案：C

1. 若空间向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$不共线，且$-\boldsymbol{a}+(3x - y)\boldsymbol{b}=x\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}$，则$xy =$ （ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 6

答案： 解析：因为空间向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$不共线，要使$-\boldsymbol{a}+(3x - y)\boldsymbol{b}=x\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}$，则$\begin{cases}-1 = x\\3x - y = 3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x = - 1\\y = - 6\end{cases}\Rightarrow xy = 6$. 故选D.
答案：D

2. 当$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|\neq0$，且$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$不共线时，$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$的关系是 （ ）
A. 共面
B. 不共面
C. 共线
D. 无法确定

答案： 解析：根据平行四边形法则可得，以$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$为邻边，则可得平行四边形的两条对角线对应的向量分别为$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$，所以$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$共面. 故选A.
答案：A

3. 已知 O 为空间任意一点，若$\overrightarrow{OP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{8}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{8}\overrightarrow{OC}$，则 A，B，C，P 四点 （ ）
A. 一定不共面
B. 一定共面
C. 不一定共面
D. 无法判断

答案： 解析：由题知$\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}-\frac{3}{4}\overrightarrow{OP}+\frac{1}{8}\overrightarrow{OB}-\frac{1}{8}\overrightarrow{OP}+\frac{1}{8}\overrightarrow{OC}-\frac{1}{8}\overrightarrow{OP}=\boldsymbol{0}$，所以$\frac{3}{4}\overrightarrow{PA}+\frac{1}{8}\overrightarrow{PB}+\frac{1}{8}\overrightarrow{PC}=\boldsymbol{0}$，则$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{6}\overrightarrow{PB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{PC}$，故$A,B,C,P$四点共面. 故选B.
答案：B

4. 已知 P 为空间中任意一点，A，B，C，D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且$\overrightarrow{PA}=\frac{5}{3}\overrightarrow{PB}+x\overrightarrow{PC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{PD}$，则实数$x$的值为________.

答案： 解析：$P$为空间中任意一点，$A,B,C,D$四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且$\overrightarrow{PA}=\frac{5}{3}\overrightarrow{PB}+x\overrightarrow{PC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{PD}$，则根据向量共面定理，$\frac{5}{3}+x+\frac{1}{3}=1$，即$x = - 1$.
答案：$-1$