《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

题型一 直线的倾斜角
【问题探究 1】如图，在平面直角坐标系中，过一点 P(2,2)可以作出多少条直线？这些直线区别在哪里呢？如何表示这些直线的方向呢？

答案： 问题探究1 提示：无数条.区别是它们的方向不同.这些直线相对于x轴的倾斜程度不同，也就是它们与x轴正向所成的角不同.因此，我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向.

例 1 （1）设直线 l 过原点，其倾斜角为α，将直线 l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转 45°得到直线 l₁，则直线 l₁的倾斜角为（ ）
A.α + 45°
B.α - 135°
C.135° - α
D.当 0°≤α＜135°时，倾斜角为α + 45°，当 135°≤α＜180°时，倾斜角为α - 135°
（2）设直线 l₁过原点，其倾斜角α = 15°，直线 l₁与 l₂的交点为 A，且 l₁与 l₂向上的方向之间所成的角为 75°，则直线 l₂的倾斜角为________.

答案：
例1 解析：
(1)根据题意，画出图形，如图所示，

因为0°≤α＜180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意.通过画图(如图所示)可知：当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.
(2)设直线l2的倾斜角为α，由图可知，α＝15°＋75°＝90°，
∴直线l2的倾斜角为90°.

答案：
(1)D
(2)90°

巩固练习 1 （多选）下列命题正确的是（ ）
A. 直线 x = 1 的倾斜角不存在
B. 直线 x = $\frac{\pi}{4}$的倾斜角为 $\frac{\pi}{4}$
C. 若直线的倾斜角为α，则 sinα≥0
D. 若直线 l 经过原点和点(-1,1)，则直线 l 的倾斜角为 135°

答案： 巩固练习1 解析：对于A，直线x＝1与x轴垂直，其倾斜角为90°，故选项错误；
对于B，因为直线x＝$\frac{\pi}{4}$垂直于x轴，故倾斜角为90°，故选项错误；
对于C，因为0°≤α＜180°，所以sinα≥0，故选项正确；
对于D，画图可知，直线l的倾斜角为135°，故选项正确.
答案：CD

题型二 直线的斜率
【问题探究 2】在平面直角坐标系中，设直线 l 的倾斜角为α.
（1）已知直线 l 经过 O(0,0)，P($\sqrt{3}$,1)，α与 O，P 的坐标有什么关系？
（2）类似地，如果直线 l 经过 P₁(-1,1)，P₂($\sqrt{2}$,0)，α与 P₁，P₂的坐标有什么关系？
（3）一般地，如果直线 l 经过两点 P₁(x₁,y₁)，P₂(x₂,y₂)，x₁≠x₂，那么α与 P₁，P₂的坐标有什么关系？

答案： 问题探究2 提示：
(1)tanα＝$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
(2)tanα＝$\frac{1}{-1 - \sqrt{2}}=1 - \sqrt{2}$.
(3)tanα＝$\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

例 2 已知坐标平面内三点 A(-1,1)，B(1,1)，C(2,$\sqrt{3}$+1).
（1）求直线 AC 的斜率；
（2）若 D 为△ABC 的 AB 边上一动点，求直线 CD 的斜率的取值范围.
变式练 本例条件不变，求过点 B 的直线与线段 AC 相交的斜率的取值范围.

答案：
例2 解析：
(1)由A(－1，1)，C(2，$\sqrt{3}+1$)，
得$k_{AC}=\frac{\sqrt{3}+1 - 1}{2 - (-1)}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
(2)如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，
此时$k_{CD}$由$k_{AC}$增大到$k_{BC}$，
又$k_{AC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$k_{BC}=\frac{\sqrt{3}+1 - 1}{2 - 1}=\sqrt{3}$，
所以$k_{CD}$的取值范围为$[\frac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3}]$.

变式练 解析：如图，

由题意知$k_{AB}=0$，$k_{BC}=\frac{\sqrt{3}+1 - 1}{2 - 1}=\sqrt{3}$，
此时由$k_{AB}$减小到－∞，再由＋∞减小到$\sqrt{3}$，
所以过点B的直线与线段AC相交的斜率的取值范围为(－∞，0]∪[$\sqrt{3}$，＋∞).

巩固练习 2 （1）已知直线 l 经过点 A(-1,2)，且不经过第三象限，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（ ）
A. (-2,0]
B. (-∞,-2]∪[0,+∞)
C. [1,2]
D. [-2,0]
（2）若点 A(-1,2)，B(-3,b)，C(3,10)在同一条直线上，则实数 b = ________.

答案：
巩固练习2 解析：
(1)因为直线l经过点A(－1，2)，且不经过第三象限，所以$k_{OA}\leq k\leq0$，又$k_{OA}=\frac{2}{-1}=-2$，所以－2≤k≤0.故选D.
(2)由题意可得$k_{BA}=k_{AC}$，即$\frac{2 - b}{-1 + 3}=\frac{2 - 10}{-1 - 3}$，解得b＝－2.
答案：
(1)D
(2)－2