《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

巩固练习4　如图，在四棱锥$P - ABCD$中，底面ABCD为矩形且$AD = 2AB = 2$，侧面$PAD\perp$底面ABCD，且侧面PAD是正三角形，E，F分别是AD，PB 的中点.
(1)求证：$AF//$平面PCE；
(2)求直线CF与平面PCE所成角的正弦值.

答案：
解析:
(1)证明:取$PC$的中点$M$，连接$MF$，$ME$，
因为$F$是$PB$的中点，所以$MF$是三角形$PBC$的中位线，
所以$MF// BC$，且$MF=\frac{1}{2}BC$，
因为底面$ABCD$为矩形，$E$是$AD$的中点，
所以$AE// BC$，$AE=\frac{1}{2}BC$，
所以$MF// AE$，且$MF = AE$，
所以四边形$AFME$是平行四边形，故$AF// ME$，
因为$AF\not\subset$平面$PCE$，$ME\subset$平面$PCE$，
所以$AF//$平面$PCE$.

(2)因为侧面$PAD$是正三角形，$E$是$AD$的中点，所以$PE\perp AD$，
又因为侧面$PAD\perp$底面$ABCD$，交线为$AD$，所以$PE\perp$底面$ABCD$，
以$E$为坐标原点，$ED$所在直线为$x$轴，取$BC$中点$H$，$EH$所在直线为$y$轴，$EP$所在直线为$z$轴建立空间直角坐标系，
$C(1,1,0)$，$P(0,0,\sqrt{3})$，$B(-1,1,0)$，$F(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，$E(0,0,0)$，所以$\overrightarrow{CE}=(-1,-1,0)$，$\overrightarrow{EP}=(0,0,\sqrt{3})$.
设平面$PEC$的法向量$\boldsymbol{m}=(x_{1},y_{1},z_{1})$，
则$\begin{cases}\overrightarrow{CE}\cdot\boldsymbol{m}=-x_{1}-y_{1}=0\\\overrightarrow{EP}\cdot\boldsymbol{m}=\sqrt{3}z_{1}=0\end{cases}$，解得$z_{1}=0$，
令$x_{1}=1$得$y_{1}=-1$，
所以$\boldsymbol{m}=(1,-1,0)$，$\overrightarrow{CF}=(-\frac{3}{2},-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，
设直线$CF$与平面$PCE$所成角为$\alpha$，
故$\sin\alpha=|\cos\langle\overrightarrow{CF},\boldsymbol{m}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{CF}\cdot\boldsymbol{m}|}{|\overrightarrow{CF}||\boldsymbol{m}|}=\frac{\sqrt{26}}{13}$.
所以直线$CF$与平面$PCE$所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{26}}{13}$.