《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

题型三 两点间距离公式及应用
【问题探究 2】（1）已知两点$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$，那么向量$\overrightarrow{P_1P_2}$的坐标是什么？
（2）根据向量的模的计算公式，你能得到$|\overrightarrow{P_1P_2}|$的公式吗？

答案： 问题探究2 提示：
(1)$\overrightarrow{P_1P_2}=(x_2 - x_1,y_2 - y_1)$
(2)$|\overrightarrow{P_1P_2}|=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$.

例 3 （1）已知$\triangle ABC$的顶点坐标为$A(-5,-1)$，$B(-1,1)$，$C(-2,3)$，试判断$\triangle ABC$的形状；
（2）如图，在$\triangle ABC$中，$|AB| = |AC|$，$D$是$BC$边上异于$B$，$C$的任意一点，求证：$|AB|^2 = |AD|^2 + |BD|\cdot|DC|$.

答案：
例3 解析：
(1)$\because A(-5,-1)$，$B(-1,1)$，$C(-2,3)$，
$\therefore k_{AB}=\frac{1 + 1}{-1 + 5}=\frac{1}{2}$，$k_{BC}=\frac{3 - 1}{-2 + 1}=-2$，$k_{AC}=\frac{3 + 1}{-2 + 5}=\frac{4}{3}$，
$\therefore k_{AB}\cdot k_{BC}=-1$，$\therefore AB\perp BC$，
又$|AB|=\sqrt{(-1 + 5)^2+(1 + 1)^2}=2\sqrt{5}$，
$|BC|=\sqrt{(-1 + 2)^2+(1 - 3)^2}=\sqrt{5}$，
$\therefore\triangle ABC$为直角三角形.
(2)证明：如图，以$BC$的中点为原点$O$，$BC$所在的直线为$x$轴，建立直角坐标系.
设$A(0,a)$，$B(-b,0)$，$C(b,0)$，$D(m,0)$（$-b ＜ m ＜ b$）.
则$|AB|^2=(-b - 0)^2+(0 - a)^2=a^2 + b^2$，
$|AD|^2=(m - 0)^2+(0 - a)^2=m^2 + a^2$，
$|BD|\cdot|DC|=|m + b|\cdot|b - m|=(b + m)(b - m)=b^2 - m^2$，
$\therefore|AD|^2+|BD|\cdot|DC|=a^2 + b^2$，
$\therefore|AB|^2=|AD|^2+|BD|\cdot|DC|$.

巩固练习 3 已知四边形$ABCD$的四个顶点的坐标分别为$A(-1,2)$，$B(3,4)$，$C(3,2)$，$D(1,1)$. 求证：四边形$ABCD$是梯形.

答案： 巩固练习3 解析：证明：由$A(-1,2)$，$B(3,4)$，$C(3,2)$，$D(1,1)$，
则$k_{AB}=\frac{4 - 2}{3 - (-1)}=\frac{1}{2}$，$k_{CD}=\frac{2 - 1}{3 - 1}=\frac{1}{2}$，
由题意是四边形$ABCD$，知$A$，$B$，$C$，$D$不共线，则$AB// CD$，
又$|AB|=\sqrt{(4 - 2)^2+(3 + 1)^2}=2\sqrt{5}$，
$|CD|=\sqrt{(2 - 1)^2+(3 - 1)^2}=\sqrt{5}$，
故$|AB|\neq|CD|$，所以四边形$ABCD$是梯形.

随堂练习
1.已知三条直线$2x + y - 4 = 0$，$kx - y + 3 = 0$，$x - y - 2 = 0$交于一点，则实数$k =$（ ）
A.-1
B.1
C.$-\frac{3}{2}$
D.$\frac{1}{4}$

答案： 解析：由$\begin{cases}2x + y - 4 = 0 \\x - y - 2 = 0 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x = 2 \\y = 0 \end{cases}$，即两直线交点坐标为$(2,0)$，代入$kx - y + 3 = 0$得$2k - 0 + 3 = 0\Rightarrow k = -\frac{3}{2}$.故选C.
答案：C

2.已知$\triangle ABC$的三个顶点$A(3,0)$，$B(-1,2)$，$C(1,-3)$，则$\triangle ABC$的中线$AD$的长是（ ）
A.$\frac{\sqrt{37}}{2}$
B.3
C.$\frac{\sqrt{38}}{2}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 解析：由题意可知，线段$BC$的中点为$D(0,-\frac{1}{2})$，故$|AD|=\sqrt{(3 - 0)^2+(0 + \frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{37}}{2}$.故选A.
答案：A

3.不论$m$为何实数，直线$l:(m - 1)x + (2m - 3)y + m = 0$恒过定点（ ）
A.（-3，-1）
B.（-2，-1）
C.（-3，1）
D.（-2，1）

答案： 解析：直线$l$的方程可化为$m(x + 2y + 1)-x - 3y = 0$，
令$\begin{cases}x + 2y + 1 = 0 \\-x - 3y = 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}x = -3 \\y = 1 \end{cases}$，
$\therefore$直线$l$恒过定点$(-3,1)$.故选C.
答案：C

4.已知点$A(2,m)$与点$B(m,1)$间的距离是$\sqrt{13}$，则实数$m =$________.

答案： 解析：$\because|AB|=\sqrt{(m - 2)^2+(1 - m)^2}=\sqrt{13}$，$\therefore m^2 - 3m - 4 = 0$，解得$m = -1$或$m = 4$.
答案：$-1$或$4$