《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

例3 某苗圃有两个入口A,B，|AB| = 100，欲在苗圃内开辟
一块区域种植观赏植物，现有150株树苗放在P处，已知|PA| = 80，|PB| = 88，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系.计划将树苗种在以( - 7,1)，(7,1)，( - 7,10)，(7,10)为顶点的矩形内呈15列10行等距排列.
(1)种在点C(4,5)处的树苗应通过哪个入口运输路程较短?
(2)能否在苗圃内确定一条界线，使位于界线一侧的树苗沿PA运输较近，而另一侧的树苗沿PB运输较近? 若能，求出这条界线；若不能，说明理由.

答案：
解析:
(1)由题可知,因为|AB|=100,|PA|=80,|PB|=88,
　　所以A(−50,0),B(50,0),C(4,5).
　　则|PA|+|AC|=80+　$\sqrt{54²+52}$　134.23与|PB|+|BC|=88+　$\sqrt{46²+52}$　134.27.
　　|PA|+|AC|＜|PB|+|BC|,
　　所以应通过A入口运输路程较短.
(2)存在这样一条界线，使得从两边运输的距离一样.
　　设点M(x,y)在界线上,有|PA|+|AM|=|PB|+|BM|,整理
|AM|−|BM|=|PB|−|PA|=8,
　根据双曲线的定义可知，这条界线是
　以A,B为焦点的双曲线的右支.
　　　　　　　　　　　　　 则2a=8,即a=4,又因为c=50，
　b²=c²−a²=2500−16=2484,
　所以界线的方程为$\frac{x²}{16}$−k2484=三1
　(x≥4).

巩固练习3 （多选）已知A,B两监测点间距离为800米，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒，设声速为340米/秒，下列说法正确的是（ ）
A.爆炸点在以A,B为焦点的椭圆上
B.爆炸点在以A,B为焦点的双曲线的一支上
C.若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到B监测点的距离为$\frac{680}{3}$米
D.若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到B监测点的距离为680米

答案： 解析:依题意，A,B两监测点间距离为800米，且
A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒，
　设爆炸点为C,则
　|CA|−|CB|=340×2=680＜800,
　所以爆炸点在以A,B为焦点的双曲线的一支上，
　所以A选项错误，B选项正确.
　若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，
　所以⊥CA|²=4,即|CA|=2|CBI,结合|CA|−|CB|=680 |CB|²
　可得|CB|=680.
　所以C选项错误，D选项正确.故选BD.
　答案:BD

1.已知点M( - 2,0)，N(2,0)，动点P满足条件|PM| - |PN| = 2$\sqrt{2}$.则动点P的轨迹方程为 （ ）
A.$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1(x＞0)$
B.$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$
C.$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1(x＞0)$
D.$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$

答案： 解析:
∵M(−2,0),N(2,0),
∴|MN|=4,动点P满足条件|PM|−|PN||=2$\sqrt{2}$＜|MN|,
∴点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支，
∵点M(−2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|−|PN|=
　2$\sqrt{2}$,
∴c=2,a=$\sqrt{2}$
∴b=　$\sqrt{2−a²}$=　$\sqrt{2−(\sqrt{2}2}$=$\sqrt{2}$;
∴动点P的轨迹方程为$\frac{x²}{2}$−辽2=1(x＞0).故选A.
　答案:A

2.与圆C₁:x² + y² = 1及圆C₂:x² + y² - 12y + 20 = 0都外切的圆的圆心在 （ ）
A.椭圆上
B.双曲线的一支上
C.抛物线上
D.圆上

答案： 解析:设所求圆的半径为r,圆心为M,
　圆C1:x²+y²=1的圆心C1(0,0),半径r1=1,
　圆C2化为标准方程得x²+(y−6)²=16,则圆心C2(0,6),半径r2=4,
　因为lCC2|=6＞r1+r2,所以两圆相离，
　由题意可得{||MMCC2||==rr++41,,两式相减得|MC2|−|MC1|=
　3＜IC1C2|,所以圆心M在双曲线的一支上.故选B.
　答案:B

3.平面内，线段AB的长度为10，动点P满足|PA| = 6 + |PB|，则|PB|的最小值为________.

答案： 解析:因为|PA|=6+|PB|,所以|PA|−|PB|=6＜|AB|，因此动点P在以A，B为焦点的双曲线的靠近B点的一支上，且a=3,c=5,从而|PB|的最小值为c−α=2.
　答案:2

4.P为双曲线x² - $\frac{y^{2}}{15}=1$右支上一点，M，N分别是圆(x + 4)² + y² = 4和(x - 4)² + y² = 1上的点，则|PM| - |PN|的最大值为________.

答案：
解析:双曲线的两个焦点F1(−4，
　0),F2(4,0)分别为两圆的圆心，
　两圆的半径分别为r1=2,r2=1,
　　　　　　　　　　　　　 易知|PM|max=|PF1|+2,|PN|min
　=|PF2∣−1,
　故|PM|−|PN|的最大值为|PF1|+2−(|PF2|−1)=
　|PF1|−|PF2|+3=2+3=5.
　答案:5