《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

问题探究 3】 你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？

答案：
问题探究3　提示：如图，建立空间直角坐标系$Oxyz$，
设$P_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$，$P_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})$是空间中任意两点，$\overrightarrow{P_{1}P_{2}}=\overrightarrow{OP_{2}}-\overrightarrow{OP_{1}}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1})$，
$\vert\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\vert=\sqrt{\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\cdot\overrightarrow{P_{1}P_{2}}}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}$，
所以$P_{1}P_{2}=\vert\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\vert=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}$，
因此，空间中已知两点$A(x_{1},y_{1},z_{1})$，$B(x_{2},y_{2},z_{2})$，
则$AB=\vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}$。

例 4 如图，在直三棱柱 ABC - A₁B₁C₁ 中，CA = CB = 1，$\angle BCA = 90^{\circ}$，AA₁ = 2，M，N 分别是 B₁C₁，A₁A 的中点。
(1)求 M，N 的距离；
(2)求$\cos\langle\overrightarrow{BA_1},\overrightarrow{CB_1}\rangle$的值。

答案：
例4　解析：
(1)如图，以$C$为原点，分别以$CA$，$CB$，$CC_{1}$所在直线为$x$轴，$y$轴，$z$轴，建立空间直角坐标系$Cxyz$，依题意得$B(0,1,0)$，$N(1,0,1)$，$B_{1}(0,1,2)$，$C_{1}(0,0,2)$，$M(0,\frac{1}{2},2)$，

$\therefore\overrightarrow{MN}=(1,-\frac{1}{2},-1)$，
$\therefore\vert\overrightarrow{MN}\vert=\sqrt{1^{2}+(-\frac{1}{2})^{2}+(-1)^{2}}=\frac{3}{2}$。
所以$M$，$N$的距离为$\frac{3}{2}$。
(2)依题意得$A_{1}(1,0,2)$，$B(0,1,0)$，$C(0,0,0)$，$B_{1}(0,1,2)$，
$\therefore\overrightarrow{BA_{1}}=(1,-1,2)$，$\overrightarrow{CB_{1}}=(0,1,2)$，
$\overrightarrow{BA_{1}}\cdot\overrightarrow{CB_{1}}=3$，$\vert\overrightarrow{BA_{1}}\vert=\sqrt{6}$，$\vert\overrightarrow{CB_{1}}\vert=\sqrt{5}$，
$\therefore\cos\langle\overrightarrow{BA_{1}},\overrightarrow{CB_{1}}\rangle=\frac{\overrightarrow{BA_{1}}\cdot\overrightarrow{CB_{1}}}{\vert\overrightarrow{BA_{1}}\vert\vert\overrightarrow{CB_{1}}\vert}=\frac{\sqrt{30}}{10}$。

巩固练习 3 如图，在四棱锥 S - ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，侧棱 SD⊥底面 ABCD，E，F，G 分别为 AB，SC，SD 的中点。若 AB = a，SD = b。

(1)求$|\overrightarrow{EF}|$；
(2)求$\cos\langle\overrightarrow{AG},\overrightarrow{BC}\rangle$。

答案：
巩固练习3　解析：
(1)如图，以$D$为原点，分别以$DA$，$DC$，$DS$所在直线为$x$轴，$y$轴，$z$轴，建立空间直角坐标系。

则$A(a,0,0)$，$B(a,a,0)$，$C(0,a,0)$，$E(a,\frac{a}{2},0)$，$F(0,\frac{a}{2},\frac{b}{2})$，$G(0,0,\frac{b}{2})$，
所以$\overrightarrow{EF}=(-a,0,\frac{b}{2})$，则$\vert\overrightarrow{EF}\vert=\sqrt{(-a)^{2}+0^{2}+\frac{b^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{4a^{2}+b^{2}}}{2}$。
(2)由
(1)知$\overrightarrow{AG}=(-a,0,\frac{b}{2})$，$\overrightarrow{BC}=(-a,0,0)$，
所以$\cos\langle\overrightarrow{AG},\overrightarrow{BC}\rangle=\frac{\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BC}}{\vert\overrightarrow{AG}\vert\vert\overrightarrow{BC}\vert}=\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}+\frac{b^{2}}{4}}\cdot a}=\frac{2a}{\sqrt{4a^{2}+b^{2}}}$。

1.已知点 A(2,2,7)，B(-2,4,3)，若$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，则点 C 的坐标为（ ）
A.(2,-1,2)
B.(-2,1,-2)
C.(0,3,2)
D.(0,3,5)

答案： 1. 解析：易知$\overrightarrow{AB}=(-4,2,-4)\Rightarrow\overrightarrow{AC}=(-2,1,-2)\Rightarrow C(0,3,5)$。故选D。
答案：D

2.若$\boldsymbol{a}=(1,\lambda,2)$，$\boldsymbol{b}=(2,10,4)$，$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为 90°，则$\lambda$的值为（ ）
A.5
B.4
C.-1
D.0

答案： 2. 解析：因为$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$90^{\circ}$，所以$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=2 + 10\lambda+8 = 0$，
解得$\lambda=-1$。故选C。
答案：C

3.已知向量$\boldsymbol{a}=(-3,2,5)$，$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(1,5,-1)$，则$|\boldsymbol{b}|=$（ ）
A.61
B.$\sqrt{61}$
C.13
D.$\sqrt{13}$

答案： 3. 解析：由$\boldsymbol{a}=(-3,2,5)$，$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(1,5,-1)$，得$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}-(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=(-4,-3,6)$，$\vert\boldsymbol{b}\vert=\sqrt{(-4)^{2}+(-3)^{2}+6^{2}}=\sqrt{61}$。故选B。
答案：B

4.已知空间有三点 A(-1,0,1)，B(0,1,3)，C(3,5,3)，若在直线 BC 上存在一点 M，使得$AM\perp BC$，则点 M 的坐标为__________。

答案： 4. 解析：设$M(x,y,z)$，则$\overrightarrow{AM}=(x + 1,y,z - 1)$，$\overrightarrow{BM}=(x,y - 1,z - 3)$，
又$\overrightarrow{BC}=(3,4,0)$，$\overrightarrow{AM}\perp\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BC}//\overrightarrow{BM}$，
则$\begin{cases}3(x + 1)+4y = 0\\3(y - 1)=4x\\z - 3 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-\frac{21}{25}\\z = 3\\y=-\frac{3}{25}\end{cases}$，
即点$M$的坐标为$(-\frac{21}{25},-\frac{3}{25},3)$。
答案：$(-\frac{21}{25},-\frac{3}{25},3)$