《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

例2 求下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为$-4$，在$y$轴上的截距为$7$；
(2)在$y$轴上的截距为$2$，且与$x$轴平行；
(3)倾斜角为$150^{\circ}$，与$y$轴的交点到原点的距离为$3$.

答案： 解析:
(1)直线的斜率$k = -4$，在$y$轴上的截距$b = 7$，由直线的斜截式方程知，所求直线方程为$y = -4x + 7$。
(2)直线的斜率$k = 0$，在$y$轴上的截距$b = 2$，由直线的斜截式方程知，所求直线方程为$y = 2$。
(3)直线的倾斜角为$150^{\circ}$，所以斜率为$-\frac{\sqrt{3}}{3}$。因为直线与$y$轴的交点到原点的距离为$3$，所以在$y$轴上的截距$b = 3$或$b = -3$，故所求的直线方程为$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + 3$或$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x - 3$。

巩固练习2 (1)直线$l$与直线$l_1:y = 2x + 6$在$y$轴上有相同的截距，且$l$的斜率与$l_1$的斜率互为相反数，则直线$l$的方程为__________.
(2)已知斜率为$-\frac{4}{3}$的直线$l$与两坐标轴围成的三角形面积为$6$，则直线$l$的方程为__________.

答案： 解析:
(1)由直线$l_1$的方程可知它的斜率为$2$，它在$y$轴上的截距为$6$，所以直线$l$的斜率为$-2$，在$y$轴上的截距为$6$。由斜截式可得直线$l$的方程为$y = -2x + 6$。
(2)设$l:y = -\frac{4}{3}x + b$，令$x = 0$，得$y = b$；令$y = 0$，得$x = \frac{3}{4}b$。由题意，得$\frac{1}{2} \cdot |b| \cdot |\frac{3}{4}b| = 6$，$\therefore b^2 = 16$，$\therefore b = \pm 4$。故直线$l$的方程为$y = -\frac{4}{3}x \pm 4$。
　答案:
(1)$y = -2x + 6$　
(2)$y = -\frac{4}{3}x \pm 4$

题型三 根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直
[问题探究3] 前面一节课中我们学习过斜率对于直线平行、垂直的影响.设$l_1:y = k_1x + b_1$，$l_2:y = k_2x + b_2$，请问满足什么条件：(1)$l_1// l_2$；(2)$l_1$，$l_2$重合；(3)$l_1\perp l_2$？

答案： 提示:
(1)$k_1 = k_2$且$b_1 \neq b_2$；
(2)$k_1 = k_2$且$b_1 = b_2$；
(3)$k_1k_2 = -1$。

例3 当$a$为何值时，直线$l_1:y = -x + 2a$与直线$l_2:y=(a^2 - 2)x + 2$，(1)平行？(2)垂直？

答案： 解析:
(1)要使$l_1 // l_2$，则需满足$a^2 - 2 = -1$，$2a \neq 2$，解得$a = -1$。故当$a = -1$时，直线$l_1$与直线$l_2$平行。
(2)要使$l_1 \perp l_2$，则需满足$(a^2 - 2) \times (-1) = -1$，$\therefore a = \pm\sqrt{3}$。故当$a = \pm\sqrt{3}$时，直线$l_1$与直线$l_2$垂直。

巩固练习3 (1)经过点$(1,1)$且与直线$y = 2x + 7$平行的直线方程为__________；
(2)求经过点$(-1,1)$且与直线$y = -2x + 7$垂直的直线方程__________.

答案： 解析:
(1)由$y = 2x + 7$得其斜率$k_1 = 2$，$\because$所求直线与已知直线平行，设其斜率为$k_2$，$\therefore k_2 = k_1 = 2$，$\therefore$所求直线方程为$y - 1 = 2(x - 1)$，即$y = 2x - 1$。
(2)由$y = -2x + 7$得其斜率$k_1 = -2$，$\because$所求直线与已知直线垂直，设其斜率为$k_2$，$\therefore k_1 \cdot k_2 = -1$，$\therefore k_2 = \frac{1}{2}$，$\therefore$所求直线为$y - 1 = \frac{1}{2}(x + 1)$，即$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$。
　答案:
(1)$y = 2x - 1$　
(2)$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

1.直线$l$的点斜式方程为$y + 2 = 2(x - 1)$，则( )
A.直线$l$过点$(2,-2)$，斜率为$\frac{1}{2}$
B.直线$l$过点$(-2,2)$，斜率为$\frac{1}{2}$
C.直线$l$过点$(1,-2)$，斜率为$2$
D.直线$l$过点$(-1,2)$，斜率为$2$

答案： 解析:$\because$直线$l$的方程为$y + 2 = 2(x - 1)$，$\therefore$直线$l$的斜率为$2$，且经过定点$(1,-2)$。故选C。
　答案:C

2.直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x + 4$的倾斜角是( )
A.$30^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$135^{\circ}$

答案： 解析:直线$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 4$的斜率$k = \frac{\sqrt{3}}{3}$，则该直线的倾斜角$\alpha = 30^{\circ}$。故选A。
　答案:A

3.过点$(-1,2)$且与直线$y = 2x + 1$垂直的直线方程为( )
A.$y = 2x + 4$
B.$y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$
C.$y = -2x$
D.$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$

答案： 解析:与直线$y = 2x + 1$垂直的直线的斜率$k = -\frac{1}{2}$，$\therefore$所求的直线方程为$y - 2 = -\frac{1}{2}(x + 1)$，即为$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$。故选D。
　答案:D

4.已知$P(2,3)$是直线$l$上一点，且$\boldsymbol{n}=(1,-2)$是直线$l$的一个法向量，则直线$l$的方程为__________.

答案： 解析:因为$\boldsymbol{n} = (1,-2)$是直线$l$的法向量，所以直线$l$的斜率$k = \frac{1}{2}$，又点$P(2,3)$是直线$l$上的点，所以直线$l$的方程为$y - 3 = \frac{1}{2}(x - 2)$，整理得$y = \frac{1}{2}x + 2$。
　答案:$y = \frac{1}{2}x + 2$