《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

题型二 直线与平面所成的角
【问题探究2】如图，设直线AB的方向向量为u，AC⊥平面α，垂足为C，平面α的法向量为n，直线AB与平面α所成的角是哪个角？这个角与向量的夹角〈u，n〉之间满足什么关系式？

答案： 提示:直线$AB$与平面$\alpha$所成的角是$\angle ABC=\theta$，$\sin\theta =|\cos\langle\boldsymbol{u},\boldsymbol{n}\rangle|$.

例2 如图，在直三棱柱ABC - A₁B₁C₁中，AA₁ = AC = BC，AC⊥BC，D，E分别是A₁B₁，CC₁的中点.
（1）求证：C₁D⊥平面AA₁B₁B；
（2）求直线BD与平面A₁BE所成角的正弦值.

答案：
解析:
(1)证明:因为直三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$，所以$AA_1\perp$平面$A_1B_1C_1$，
因为$C_1D\subset$平面$A_1B_1C_1$，所以$AA_1\perp C_1D$.
因为$AC = BC$，所以$A_1C_1 = B_1C_1$，
因为$D$是$A_1B_1$的中点，所以$C_1D\perp A_1B_1$，
因为$AA_1\cap A_1B_1 = A_1$，$AA_1\subset$平面$AA_1B_1B$，$A_1B_1\subset$平面$AA_1B_1B$，
所以$C_1D\perp$平面$AA_1B_1B$.
(2)因为直三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$，所以$CC_1\perp$平面$ABC$，$AC$，$BC\subset$平面$ABC$，
所以$CC_1\perp AC$，$CC_1\perp BC$，
因为$AC\perp BC$，所以$CC_1$，$AC$，$BC$两两垂直.
以$C$为原点，$CA$，$CB$，$CC_1$所在直线分别为$x$轴，$y$轴，$z$轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设$AA_1 = 2$，则$B(0,2,0)$，$A_1(2,0,2)$，$D(1,1,2)$，$E(0,0,1)$.
所以$\overrightarrow{BD}=(1,-1,2)$，$\overrightarrow{BE}=(0,-2,1)$，$\overrightarrow{EA_1}=(2,0,1)$，
设平面$A_1BE$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$.
所以$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{BE}=0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{EA_1}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}-2y + z = 0\\2x + z = 0\end{cases}$，
令$z = 2$，则$x = -1$，$y = 1$.所以$\boldsymbol{n}=(-1,1,2)$.
所以$\cos\langle\overrightarrow{BD},\boldsymbol{n}\rangle=\frac{\overrightarrow{BD}\cdot\boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{BD}||\boldsymbol{n}|}=\frac{1}{3}$，
设直线$BD$与平面$A_1BE$所成角为$\theta$，
所以$\sin\theta =|\cos\langle\overrightarrow{BD},\boldsymbol{n}\rangle|=\frac{1}{3}$，
故直线$BD$与平面$A_1BE$所成角的正弦值为$\frac{1}{3}$.

巩固练习2 如图，在四棱锥P - ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA = AB = 1，M为PB的中点.
（1）求证：AM⊥平面PBC；
（2）求直线PD与平面PBC所成角的大小.

答案：
解析:
(1)证明:因为$PA\perp$平面$ABCD$，所以$PA\perp BC$，
又$BC\perp AB$，$PA\cap AB = A$，$PA$，$AB\subset$平面$PAB$，
所以$BC\perp$平面$PAB$，$AM\subset$平面$PAB$，
所以$BC\perp AM$，
因为$PA = AB$，且点$M$是$PB$的中点，所以$AM\perp PB$，
且$BC\cap PB = B$，$BC$，$PB\subset$平面$PBC$，
所以$AM\perp$平面$PBC$.
(2)以点$A$为原点，以$AB$，$AD$，$AP$所在直线分别为$x$轴，$y$轴，$z$轴，建立空间直角坐标系，

$A(0,0,0)$，$M\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)$，$P(0,0,1)$，$D(0,1,0)$，$B(1,0,0)$，$C(1,1,0)$，
$\overrightarrow{AM}=\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)$，$\overrightarrow{PD}=(0,1,-1)$，
由
(1)可知，向量$\overrightarrow{AM}$是平面$PBC$的法向量，
设直线$PD$与平面$PBC$所成角为$\theta$，
所以$\sin\theta =|\cos\langle\overrightarrow{PD},\overrightarrow{AM}\rangle|=\left|\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}}\right|=\frac{1}{2}$，则$\theta =\frac{\pi}{6}$，
所以直线$PD$与平面$PBC$所成角的大小为$\frac{\pi}{6}$.

题型三 平面与平面的夹角
【问题探究3】（1）如图，设平面α，β的法向量分别是n₁和n₂，平面α与平面β所成的夹角为θ，角θ与向量的夹角〈n₁，n₂〉满足什么关系式？

（2）两平面法向量的夹角就是两平面的夹角吗？

答案： 提示:
(1)$\cos\theta =|\cos\langle\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle|$.
(2)不一定.两平面法向量的夹角可能等于两平面的夹角(当$0\leqslant\langle\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle\leqslant\frac{\pi}{2}$时)，也有可能与两平面的夹角互为补角(当$\frac{\pi}{2}\lt\langle\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle\leqslant\pi$时).其中$\boldsymbol{n}_1$，$\boldsymbol{n}_2$是两平面的法向量.