《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

例1 已知直线l：(2λ+1)x+(λ+1)y-7λ-4=0(λ∈R)和以点C为圆心的圆(x-4)²+y²=4.
(1)求证：直线l恒过定点；
(2)当直线l被圆C截得的弦长最短时，求λ的值以及最短弦长.

答案： 解析:
(1)证明:由直线$l:(2\lambda + 1)x + (\lambda + 1)y - 7\lambda - 4 = 0$，
得$\lambda(2x + y - 7)+x + y - 4 = 0$，
联立$\begin{cases}2x + y - 7 = 0\\x + y - 4 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}$，
所以直线$l$恒过一定点$M(3,1)$。
(2)要使直线$l$被圆$C$所截得的弦长最短，则$l\perp CM$，
圆$C:(x - 4)^2 + y^2 = 4$，可得$C(4,0)$，
半径为$r = 2$，则$k_{CM}=\frac{0 - 1}{4 - 3} = - 1$，
所以$-\frac{2\lambda + 1}{\lambda + 1}=1$，解得$\lambda = -\frac{2}{3}$，
又$\vert CM\vert=\sqrt{(4 - 3)^2+(0 - 1)^2}=\sqrt{2}$，
此时最短弦长为$2\sqrt{r^2 - CM^2}=2\sqrt{4 - 2}=2\sqrt{2}$。

巩固练习1 (1)已知圆C经过A(1,0)，B(2，-1)两点，且圆心C在直线x+y=0上，则过点D(1，-1/2)的直线与圆C相交所截最短弦长为 ( )
A.1
B.√3
C.3/2
D.2

答案： 解析:
(1)设圆$C$的圆心为$(a,-a)$，半径为$r$，
代入$A(1,0)$，$B(2,-1)$两点有$(a - 1)^2 + a^2 = r^2$，$(a - 2)^2 + (-a + 1)^2 = r^2$，
解得圆$C:(x - 1)^2+(y + 1)^2 = 1$，
圆心$C(1,-1)$，设圆心到直线的距离为$d$，
$\vert CD\vert=\sqrt{(1 - 1)^2+\left[-1-\left(-\frac{1}{2}\right)\right]^2}=\frac{1}{2}$，
则弦长为$2\sqrt{r^2 - d^2}\geqslant2\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\sqrt{3}$，当直线与$CD$垂直时，弦长最短为$\sqrt{3}$。故选B。

(2)从点P(1，-2)向圆x²+y²-2mx-2y+m²=0作切线，当切线长最短时，m的值为______.

答案：
(2)$x^2 + y^2 - 2mx - 2y + m^2 = 0$可化为$(x - m)^2+(y - 1)^2 = 1$，圆心$C(m,1)$，半径为$1$，切线长最短时，$\vert CP\vert$最小，$\vert CP\vert=\sqrt{(m - 1)^2 + 9}$，即当$m = 1$时，$\vert CP\vert$最小，切线长最短。
答案:
(2)1

例2 (1)已知圆M：x²+y²-2x-2y=2，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别为A，B，当四边形PAMB面积最小时，|PM|的值为 ( )
A.2√5
B.2√2
C.√5
D.√2

答案：
解析:
(1)将$x^2 + y^2 - 2x - 2y = 2$化为标准方程为$(x - 1)^2+(y - 1)^2 = 4$，
所以圆$M$的圆心为$M(1,1)$，半径为$2$，
由题意，四边形$PAMB$面积为$S = 2S_{\triangle PAM}=2\times\frac{1}{2}\times PA\times AM = 2PA$，
又因为$PA=\sqrt{PM^2 - AM^2}=\sqrt{PM^2 - 4}$，
所以当$\vert PM\vert$最短时，四边形$PAMB$面积最小，此时$\vert PM\vert=\frac{\vert2 + 1 + 2\vert}{\sqrt{4 + 1}}=\sqrt{5}$。故选C。

(2)已知△ABC中，点A(-2,0)，B(1,0)，顶点C满足条件|CA|=2|CB|，则△ABC的面积最大值为______.

答案：

(2)设$C(x,y)$，$(y\neq0)$，因为$\vert CA\vert = 2\vert CB\vert$，
所以$\sqrt{(x + 2)^2 + y^2}=2\sqrt{(x - 1)^2 + y^2}$，$(y\neq0)$，
化简得$x^2 + y^2 - 4x = 0$，$(y\neq0)$，即$(x - 2)^2 + y^2 = 4(y\neq0)$，
$C$的轨迹是以$(2,0)$为圆心，$2$为半径的圆，去掉$(0,0)$和$(4,0)$两点。
如图所示，

$C$到$x$轴的最大距离为$2$，
所以$\triangle ABC$的面积最大值为$\frac{1}{2}\times\vert - 2 - 1\vert\times2 = 3$。
答案:
(2)3

巩固练习2 直线x-y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x-2)²+y²=2上，则△ABP面积的最大值是 ( )
A.6
B.8
C.3√2
D.2√2

答案： 解析:圆$(x - 2)^2 + y^2 = 2$的圆心为$(2,0)$，半径为$\sqrt{2}$。
$\because S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}\vert AB\vert\cdot h$，$h$为点$P$到直线$x - y + 2 = 0$的距离，又点$P$在圆$(x - 2)^2 + y^2 = 2$上，
$\therefore h_{max}=\frac{4}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，
又$\because A(-2,0)$，$B(2,0)$，
$\therefore\vert AB\vert=\sqrt{2^2 + 2^2}=2\sqrt{2}$，
$\therefore\triangle ABP$面积的最大值是$\frac{1}{2}\times2\sqrt{2}\times3\sqrt{2}=6$。故选A。
答案:A