《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

【问题探究1】如图，直线$l_1$，$l_2$的方向向量分别为$\boldsymbol{u}_1$，$\boldsymbol{u}_2$，直线$l_1$，$l_2$垂直时，$\boldsymbol{u}_1$，$\boldsymbol{u}_2$之间有什么关系？

答案： 提示:垂直.

例1 如图，在三棱柱$ABC - A_1B_1C$中，$CC_1\perp$平面$ABC$，$AC\perp BC$，$BC = AC = CC_1 = 4$，$D$为$AB_1$的中点，$CB_1$交$BC_1$于点$E$。证明：$CB_1\perp C_1D$。

答案：
证明:因为$CC_{1}\perp$平面$ABC$，平面$ABC//$平面$A_{1}B_{1}C_{1}$，所以$CC_{1}\perp$平面$A_{1}B_{1}C_{1}$，
因为$C_{1}A_{1},C_{1}B_{1}\subset$平面$A_{1}B_{1}C_{1}$，
所以$CC_{1}\perp C_{1}A_{1},CC_{1}\perp C_{1}B_{1}$，
因为$AC\perp BC$，所以$A_{1}C_{1},B_{1}C_{1},CC_{1}$两两垂直，
所以以$C_{1}$为原点，$C_{1}A_{1},C_{1}B_{1},C_{1}C$所在的直线分别为$x$轴，$y$轴，$z$轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则$C(0,0,4)$，$C_{1}(0,0,0)$，$B_{1}(0,4,0)$，$A_{1}(4,0,0)$，$A(4,0,4)$，$B(0,4,4)$，$D(2,2,2)$，
所以$\overrightarrow{CB_{1}}=(0,4, - 4)$，$\overrightarrow{C_{1}D}=(2,2,2)$，
所以$\overrightarrow{CB_{1}}\cdot\overrightarrow{C_{1}D}=0 + 8 - 8 = 0$，
所以$\overrightarrow{CB_{1}}\perp\overrightarrow{C_{1}D}$，故$CB_{1}\perp C_{1}D$.

巩固练习1 如图，在四棱锥$P - ABCD$中，$PA\perp$平面$ABCD$，$PA = AB = AD = 2$，四边形$ABCD$满足$AB\perp AD$，$BC// AD$，$BC = 4$，点$M$为$PC$的中点。 求证：$DM\perp PB$。

答案：
证明:因为$PA\perp$平面$ABCD$，$AD,AB\subset$平面$ABCD$，
所以$PA\perp AD,PA\perp AB$.
又$AB\perp AD$，所以$PA,AB,AD$两两垂直.
以$A$为坐标原点，$AB,AD,AP$所在直线分别为$x$轴，$y$轴，$z$轴建立空间直角坐标系，如图所示.

则$P(0,0,2)$，$B(2,0,0)$，$D(0,2,0)$，$C(2,4,0)$，
点$M$为$PC$的中点，故$M(1,2,1)$，
故$\overrightarrow{DM}=(1,0,1)$，$\overrightarrow{BP}=(-2,0,2)$，
所以$\overrightarrow{DM}\cdot\overrightarrow{BP}=0$，所以$DM\perp PB$.

【问题探究2】如图，设$\boldsymbol{u}$是直线$l$的方向向量，$\boldsymbol{n}$是平面$\alpha$的法向量，当直线$l$垂直平面$\alpha$时，$\boldsymbol{u}$，$\boldsymbol{n}$之间有什么关系？

答案： 提示:平行(共线).