《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

题型一 椭圆的几何性质
【问题探究1】如图(1)(2)所示，椭圆C1:$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$和椭圆C2:$\frac{y^{2}}{25}+\frac{x^{2}}{16}=1$的图象，观察图象，发现它们的几何性质.

(1)通过观察图象，你发现椭圆C1、椭圆C2上的点的坐标的范围是怎样的？
(2)椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$上任意一点P(x，y)满足方程，则另一点P1(-x，y)也满足方程.这说明椭圆的图形有什么性质，类似地还有什么性质？
(3)两个椭圆的形状相同吗？为什么？

答案： 问题探究1　提示:
(1)椭圆$C_1$上的点:$-5\leqslant x\leqslant5$，$-4\leqslant y\leqslant4$.椭圆$C_2$上的点:$-4\leqslant x\leqslant4$，$-5\leqslant y\leqslant5$.
(2)椭圆关于$y$轴对称，椭圆还关于$x$轴、原点对称.
(3)两个椭圆的形状相同只是位置不同.因为两个椭圆的长、短轴的长度分别相等.

例1 求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率.
(1)x² + 9y² = 36；
(2)9x² + 5y² = 45.

答案：
例1　解析:
(1)将$x^{2}+9y^{2}=36$化为标准方程为$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{4}=1$，所以$a = 6$，$b = 2$，则$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{36 - 4}=4\sqrt{2}$
　所以椭圆的长轴长为12，短轴长为4，焦距为$8\sqrt{2}$，
　顶点坐标为$(-6,0)$，$(6,0)$，$(0,2)$，$(0,-2)$，焦点坐标为$(-4\sqrt{2},0)$和$(4\sqrt{2},0)$，
　离心率为$e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
　椭圆图象如图.

(2)将$9x^{2}+5y^{2}=45$化为标准方程为$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{9}=1$，椭圆的焦点在$y$轴上，
　所以$a = 3$，$b=\sqrt{5}$，则$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{9 - 5}=2$，
　所以椭圆的长轴长为6，短轴长为$2\sqrt{5}$，焦距为4，
　顶点坐标为$(-\sqrt{5},0)$，$(\sqrt{5},0)$，$(0,3)$，$(0,-3)$，焦点坐标为$(0,2)$和$(0,-2)$，
　离心率为$e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$，
　椭圆图象如图.

巩固练习1 求椭圆m²x² + 4m²y² = 1(m＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.

答案： 巩固练习1　解析:椭圆方程$m^{2}x^{2}+4m^{2}y^{2}=1(m＞0)$可转化为$\frac{x^{2}}{\frac{1}{m^{2}}}+\frac{y^{2}}{\frac{1}{4m^{2}}}=1$.
　$\because m^{2}＜4m^{2}$，$\therefore\frac{1}{m^{2}}＞\frac{1}{4m^{2}}$，
　$\therefore$椭圆的焦点在$x$轴上，且长半轴长$a=\frac{1}{m}$，短半轴长$b = \frac{1}{2m}$，半焦距长$c=\frac{\sqrt{3}}{2m}$.
　$\therefore$椭圆的长轴长$2a=\frac{2}{m}$，短轴长$2b=\frac{1}{m}$，焦点坐标为$(-\frac{\sqrt{3}}{2m},0)$，$(\frac{\sqrt{3}}{2m},0)$，
　顶点坐标为$(\frac{1}{m},0)$，$(-\frac{1}{m},0)$，$(0,-\frac{1}{2m})$，$(0,\frac{1}{2m})$.
　离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2m}}{\frac{1}{m}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.