《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

例 2 如图，在梯形 ABCD 中，$AB// CD$，$AD = DC = BC = 2$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，将$\triangle ACD$沿边 AC 翻折，使点 D 翻折到 P 点，且 $PB = 2\sqrt{2}$.
(1)证明：$BC\perp$平面 PAC；
(2)若 E 为线段 PC 的中点，求平面 AEB 与平面 ABC 夹角的余弦值.

答案：
解析:
(1)证明:等腰梯形ABCD中，$AD = BC = CD$，$AB// CD,\angle ABC = 60^{\circ}$，
则$\angle CAB=\angle ACD=\angle DAC = 30^{\circ}$，
则$\angle ACB = 90^{\circ},\therefore AC\perp BC$，
又由$BC^{2}+PC^{2}=PB^{2}$，可知$BC\perp PC$，
又$PC\cap AC = C,AC\subset$平面$PAC,PC\subset$平面$PAC$，
故$BC\perp$平面$PAC$。
(2)过点C作$CN\perp$平面ABC，以C为原点，分别以CA，CB，CN所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。

则$C(0,0,0),B(0,2,0),A(2\sqrt{3},0,0)$，$E(\frac{\sqrt{3}}{2},0,\frac{1}{2})$，
则$\overrightarrow{AB}=(-2\sqrt{3},2,0),\overrightarrow{EA}=(\frac{3\sqrt{3}}{2},0,-\frac{1}{2})$，
设平面EAB的法向量为$\boldsymbol{m}=(x,y,z)$，
则$\begin{cases}\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{AB}=0\\\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{EA}=0\end{cases}$，则$\begin{cases}-2\sqrt{3}x + 2y = 0\\\frac{3\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}z = 0\end{cases}$，
令$x = 1$，则$y=\sqrt{3},z = 3\sqrt{3}$，则$\boldsymbol{m}=(1,\sqrt{3},3\sqrt{3})$，
又平面ABC一个法向量为$\boldsymbol{n}=(0,0,1)$，
所以$\cos\langle\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle=\frac{|\boldsymbol{m}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{3\sqrt{3}}{1\times\sqrt{1 + 3+27}}=\frac{3\sqrt{93}}{31}$，
故平面AEB与平面ABC夹角的余弦值为$\frac{3\sqrt{93}}{31}$。

巩固练习 2 一副三角板如图(1)，将其中的$\triangle ABC$沿 BC 折起，构造出如图(2)所示的三棱锥，E 为 CD 的中点，连接 AE，使得 $AE = BD$.
(1)证明：平面 $ABC\perp$平面 BCD；
(2)求直线 AE 与平面 ABD 所成角的正弦值.
　

答案：
解析:
(1)证明:取$BD = 2$，则$AE = 2,OE = 1$，$BC = 2\sqrt{3}$，故$OA=\sqrt{3}$，
$\because OA^{2}+OE^{2}=3 + 1 = 4 = AE^{2},\therefore OE\perp OA$，
又$\because OE// BD,BD\perp BC,\therefore OE\perp BC$，
又$\because OA\cap BC = O,OA,BC\subset$平面$ABC$，
$\therefore OE\perp$平面$ABC$，
又$\because OE\subset$平面$BCD$，
$\therefore$平面$ABC\perp$平面$BCD$。
(2)以O为坐标原点，OE为x轴，OC为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系。
设$BD = 2$，则$E(1,0,0),A(0,0,\sqrt{3}),B(0,-\sqrt{3},0),D(2,-\sqrt{3},0)$，

$\overrightarrow{AE}=(1,0,-\sqrt{3}),\overrightarrow{BD}=(2,0,0)$，$\overrightarrow{AB}=(0,-\sqrt{3},-\sqrt{3})$，
设平面ABD的法向量为$\boldsymbol{u}=(x,y,z)$，
则$\begin{cases}\boldsymbol{u}\cdot\overrightarrow{BD}=(x,y,z)\cdot(2,0,0)=2x = 0\\\boldsymbol{u}\cdot\overrightarrow{AB}=(x,y,z)\cdot(0,-\sqrt{3},-\sqrt{3})=-\sqrt{3}y-\sqrt{3}z = 0\end{cases}$，
解得$x = 0$，
令$y = 1$得，$z=-1$，则$\boldsymbol{u}=(0,1,-1)$，
$\therefore\sin\theta=|\cos\langle\boldsymbol{u},\overrightarrow{AE}\rangle|=\frac{|\boldsymbol{u}\cdot\overrightarrow{AE}|}{|\boldsymbol{u}||\overrightarrow{AE}|}$
$=\frac{|(0,1,-1)\cdot(1,0,-\sqrt{3})|}{\sqrt{1 + 1}\times\sqrt{1 + 3}}=\frac{|\sqrt{3}|}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$。