《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

巩固练习 2 在平行六面体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，若$\overrightarrow{AB}=a$，$\overrightarrow{AD}=b$，$\overrightarrow{AA_{1}}=c$. 用基底$\{a,b,c\}$表示向量$\overrightarrow{BM}$.

答案： 由题意可得，
$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{B_{1}M}=\overrightarrow{BB_{1}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B_{1}D_{1}}=\overrightarrow{BB_{1}}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{A_{1}D_{1}}-\overrightarrow{A_{1}B_{1}})=c+\frac{1}{2}(b - a)$，故$\overrightarrow{BM}=-\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b + c$.

例 3 如图，在三棱锥$A - BCD$中，$AB = AC = BD = CD = 4$，$AD = BC = 2$，点$M$，$N$分别是$AD$，$BC$的中点.
(1)求$\overrightarrow{AN}\cdot\overrightarrow{CM}$的值；
(2)求异面直线$AN$，$CM$所成角的余弦值.

答案：
(1)选取一个基底$\{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\}$，
由题意得，$\cos\angle BAC=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB\cdot AC}=\frac{4^{2}+4^{2}-2^{2}}{2\times4\times4}=\frac{7}{8}$，
$\cos\angle BAD=\frac{AB^{2}+AD^{2}-BD^{2}}{2AB\cdot AD}=\frac{4^{2}+2^{2}-4^{2}}{2\times4\times2}=\frac{1}{4}$，
$\cos\angle CAD=\frac{AC^{2}+AD^{2}-CD^{2}}{2AC\cdot AD}=\frac{4^{2}+2^{2}-4^{2}}{2\times4\times2}=\frac{1}{4}$，
因为$\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，
所以$\overrightarrow{AN}\cdot\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot(\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})$
$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}\cdot\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}\cdot\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}^{2})$
$=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\times4\times2\times\frac{1}{4}-4\times4\times\frac{7}{8}+\frac{1}{2}\times4\times2\times\frac{1}{4}-16)$
$=-14$.
(2)由
(1)知，$\overrightarrow{AN}\cdot\overrightarrow{CM}=-14$，
所以$|\overrightarrow{AN}|=\sqrt{\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})^{2}}$
$=\sqrt{\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}^{2}+\overrightarrow{AC}^{2}+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})}$
$=\sqrt{\frac{1}{4}(4^{2}+4^{2}+2\times4\times4\times\frac{7}{8})}=\sqrt{15}$，
所以$|\overrightarrow{CM}|=\sqrt{(\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})^{2}}$
$=\sqrt{\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}^{2}+\overrightarrow{AC}^{2}-2\times\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AC}}$
$=\sqrt{\frac{1}{4}\times2^{2}+4^{2}-2\times\frac{1}{2}\times2\times4\times\frac{1}{4}}=\sqrt{15}$，
所以$\cos\langle\overrightarrow{AN},\overrightarrow{CM}\rangle=\frac{\overrightarrow{AN}\cdot\overrightarrow{CM}}{|\overrightarrow{AN}||\overrightarrow{CM}|}=-\frac{14}{15}$.
即异面直线$AN,CM$所成角的余弦值为$\frac{14}{15}$.

巩固练习 3 如图，在四棱锥$P - ABCD$中，底面$ABCD$是边长为 3 的菱形，$PC = 4$，$\angle ABC=\angle BCP=\angle DCP = 120^{\circ}$.
(1)证明：$PA\perp BD$；
(2)求$AP$的长.

答案：
(1)证明：设$\overrightarrow{AB}=a$，$\overrightarrow{AD}=b$，$\overrightarrow{CP}=c$，
则$\{a,b,c\}$构成空间的一个基底，
$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=b - a$，
$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}=a + b + c$，
所以$\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AP}=(b - a)\cdot(a + b + c)=b^{2}-a^{2}+b\cdot c - a\cdot c$
$=3^{2}-3^{2}+3\times4\cos60^{\circ}-3\times4\cos60^{\circ}=0$，
所以$PA\perp BD$.
(2)由
(1)知$\overrightarrow{AP}=a + b + c$，
所以$\overrightarrow{AP}^{2}=(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2a\cdot b + 2b\cdot c + 2a\cdot c$
$=3^{2}+3^{2}+4^{2}+2\times3\times3\cos60^{\circ}+2\times3\times4\cos60^{\circ}+2\times3\times4\cos60^{\circ}$
$=9 + 9 + 16 + 9 + 12 + 12 = 67$.
所以$AP = |\overrightarrow{AP}|=\sqrt{67}$.

1. 在三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，可以作为空间向量一个基底的是 （ ）
A. $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{A_{1}C_{1}}$
B. $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB_{1}},\overrightarrow{AA_{1}}$
C. $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AA_{1}}$
D. $\overrightarrow{AA_{1}},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A_{1}C_{1}}$

答案： 因为向量$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}$是共面向量，$\overrightarrow{AC}//\overrightarrow{A_{1}C_{1}}$，所以$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{A_{1}C_{1}}$是共面向量，所以不能作为基底，所以A错误；因为$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB_{1}},\overrightarrow{AA_{1}}$是共面向量，所以不能作为基底，所以B错误；因为$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AA_{1}}$这三个向量不共面，所以能作为一个基底，所以C正确；因为$\overrightarrow{AA_{1}},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A_{1}C_{1}}$是共面向量，所以不能作为基底，所以D错误. 故选C.
答案：C

2. 在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$\overrightarrow{AC_{1}}=x\overrightarrow{AA_{1}}+y\overrightarrow{AB}+z\overrightarrow{AD}$，则$(x,y,z)=$ （ ）
A. $(1,1,1)$
B. $(1,1,0)$
C. $(1,1,-1)$
D. $(1,0,-1)$

答案： 因为$\overrightarrow{AC_{1}}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_{1}}$，又$\overrightarrow{AC_{1}}=x\overrightarrow{AA_{1}}+y\overrightarrow{AB}+z\overrightarrow{AD}$，所以$x = y = z = 1$. 故选A.
答案：A

3. 在平行六面体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，若$\overrightarrow{DM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DD_{1}}$，则$\overrightarrow{MB}=$ （ ）
A. $\frac{1}{3}\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$
B. $-\frac{1}{3}\overrightarrow{AA_{1}}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$
C. $-\frac{2}{3}\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$
D. $\frac{2}{3}\overrightarrow{AA_{1}}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$

答案：
$\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{DD_{1}}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AA_{1}}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$.

故选B.
答案：B

4. 如图，两个正方形$ABCD$，$ABEF$的边长都是 2，且$\angle DAF = 120^{\circ}$，则$CF$的长为______.

答案： 由题意得$AB\perp AF$，又$AB// CD$，故$CD\perp AF$，
故$\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{AF}=0$，$\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{AF}=|\overrightarrow{DA}|\cdot|\overrightarrow{AF}|\cos60^{\circ}=2\times2\times\frac{1}{2}=2$，因为$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AF}$，故$\overrightarrow{CF}^{2}=(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AF})^{2}=\overrightarrow{CD}^{2}+\overrightarrow{DA}^{2}+\overrightarrow{AF}^{2}+2\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{DA}+2\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{AF}+2\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{AF}=4 + 4 + 4 + 0 + 0 + 4 = 16$，故$CF = |\overrightarrow{CF}| = 4$.
答案：4