《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

[问题探究] 回顾圆、椭圆的定义，并指出定义中的关键条件.

答案： 提示:圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹，关键要素是圆心和半径;椭圆的定义:平面内到两定点的距离之和为定值的点的轨迹，关键是两定点是焦点，并且注意定值要大于两定点间的距离.

例1 一个动圆与圆Q₁:(x + 3)² + y² = 1外切，与圆Q₂:(x - 3)² + y² = 81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程.

答案： 解析:两定圆的圆心和半径分别为$Q_1(-3,0)$，$r_1 = 1$；$Q_2(3,0)$，$r_2 = 9$.
设动圆圆心为$M(x,y)$，半径为$R$，由题意得$|MQ_1| = 1 + R$，$|MQ_2| = 9 - R$，$\therefore|MQ_1|+|MQ_2| = 10＞|Q_1Q_2| = 6$.
由椭圆的定义可知点$M$在以$Q_1$，$Q_2$为焦点的椭圆上，且$a = 5$，$c = 3$，$\therefore b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 9 = 16$.
故动圆圆心的轨迹方程为$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.

巩固练习1 在平面直角坐标系xOy中，已知圆A:(x - 2)² + y² = 20（圆心为A），点B(-2,0)，点P在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q，则点Q的轨迹方程为（ ）
A. $\frac{x²}{5}-y² = 1$
B. $x²+\frac{y²}{5}=1$
C. $\frac{x²}{5}+y² = 1$
D. $x²-\frac{y²}{5}=1$

答案： 解析:圆$A$：$(x - 2)^2 + y^2 = 20$的圆心为$A(2,0)$，半径$r = 2\sqrt{5}$.
由于$(-2 - 2)^2 + 0^2 = 16＜20$，所以$B(-2,0)$在圆$A$内，$|AB| = 4$.
根据垂直平分线的性质可知$|QP| = |QB|$，
所以$|QA|+|QB| = |QA|+|QP| = r = 2\sqrt{5}＞|AB|$，
所以$Q$点的轨迹是椭圆，且$2a = 2\sqrt{5}$，$a = \sqrt{5}$，$2c = 4$，$c = 2$，$b = \sqrt{a^2 - c^2} = 1$，
所以点$Q$的轨迹方程是$\frac{x^2}{5}+y^2 = 1$. 故选C.
答案:C

例2 已知平面内的两点，A(0,2$\sqrt{2}$)，B(0,-2$\sqrt{2}$)，过点A的直线l₁与过点B的直线l₂相交于点C，若直线l₁与直线l₂的斜率乘积为 $-\frac{1}{2}$，设点C的轨迹为E，求E的方程.

答案： 解析:设$C(x,y)$，由直线$l_1$与直线$l_2$的斜率乘积为$-\frac{1}{2}$，
可得$k_{AC}\cdot k_{BC}=\frac{y - 2\sqrt{2}}{x - 0}\cdot\frac{y + 2\sqrt{2}}{x - 0}=-\frac{1}{2}$，化为$y^2 - 8 = -\frac{1}{2}x^2$，即为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1(x\neq0)$.