《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

【问题探究 1】 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？

答案： 问题探究1　提示：$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3})$，$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(a_{1}-b_{1},a_{2}-b_{2},a_{3}-b_{3})$，$\lambda\boldsymbol{a}=(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\lambda a_{3})$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$。

例 1 在△ABC 中，A(2,-5,3)，$\overrightarrow{AB}=(4,1,2)$，$\overrightarrow{BC}=(3,-2,5)$。
(1)求顶点 B，C 的坐标；
(2)求$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BC}$；
(3)若点 P 在 AC 上，且$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PC}$，求点 P 的坐标。

答案： 例1　解析：
(1)设$B(x,y,z)$，$C(x_{1},y_{1},z_{1})$，
所以$\overrightarrow{AB}=(x - 2,y + 5,z - 3)$，
$\overrightarrow{BC}=(x_{1}-x,y_{1}-y,z_{1}-z)$。
因为$\overrightarrow{AB}=(4,1,2)$，
所以$\begin{cases}x - 2 = 4\\y + 5 = 1\\z - 3 = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 6\\y = - 4\\z = 5\end{cases}$，
所以点$B$的坐标为$(6,-4,5)$。
因为$\overrightarrow{BC}=(3,-2,5)$，
所以$\begin{cases}x_{1}-6 = 3\\y_{1}+4 = - 2\\z_{1}-5 = 5\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_{1}=9\\y_{1}=-6\\z_{1}=10\end{cases}$，
所以点$C$的坐标为$(9,-6,10)$。
(2)因为$\overrightarrow{CA}=(-7,1,-7)$，$\overrightarrow{BC}=(3,-2,5)$，
所以$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BC}=-21 - 2 - 35 = - 58$。
(3)设$P(x_{2},y_{2},z_{2})$，
则$\overrightarrow{AP}=(x_{2}-2,y_{2}+5,z_{2}-3)$，
$\overrightarrow{PC}=(9 - x_{2},-6 - y_{2},10 - z_{2})$，
于是有$(x_{2}-2,y_{2}+5,z_{2}-3)=\frac{1}{2}(9 - x_{2},-6 - y_{2},10 - z_{2})$，
所以$\begin{cases}x_{2}-2=\frac{1}{2}(9 - x_{2})\\y_{2}+5=\frac{1}{2}(-6 - y_{2})\\z_{2}-3=\frac{1}{2}(10 - z_{2})\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_{2}=\frac{13}{3}\\y_{2}=-\frac{16}{3}\\z_{2}=\frac{16}{3}\end{cases}$，
故点$P$的坐标为$(\frac{13}{3},-\frac{16}{3},\frac{16}{3})$。

巩固练习 1 (1)若$\boldsymbol{a}=(-1,2,-1)$，$\boldsymbol{b}=(1,3,-2)$，则$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=$（ ）
A.20 B.-20 C.-8 D.8
(2)已知点 A(2,-1,2)，B(4,5,-1)，C(-2,2,3)，若空间中一点 P 使得$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})$，求点 P 的坐标。

答案： 巩固练习1　解析：
(1)$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}^{2}-\boldsymbol{b}^{2}=1 + 4 + 1-1 - 9 - 4 = - 8$。故选C。
(2)设$P(x,y,z)$，则$\overrightarrow{AP}=(x - 2,y + 1,z - 2)$，$\overrightarrow{AB}=(2,6,-3)$，$\overrightarrow{AC}=(-4,3,1)$。
因为$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})$，
所以$(x - 2,y + 1,z - 2)=\frac{1}{2}[(2,6,-3)-(-4,3,1)]=\frac{1}{2}(6,3,-4)=(3,\frac{3}{2},-2)$，解得$x = 5$，$y=\frac{1}{2}$，$z = 0$，
所以点$P$的坐标为$(5,\frac{1}{2},0)$。
答案：
(1)C　
(2)见解析

【问题探究 2】 设平面向量$\boldsymbol{a}=(x_1,y_1)$，$\boldsymbol{b}=(x_2,y_2)$，则$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$的充要条件分别是什么？ 那么对于空间向量是不是也有类似的结论？

答案： 问题探究2　提示：设$\boldsymbol{a}=(a_{1},a_{2},a_{3})$，$\boldsymbol{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})$，则有平行关系：当$\boldsymbol{b}\neq\boldsymbol{0}$时，$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}\Leftrightarrow\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{b}\Leftrightarrow a_{1}=\lambda b_{1}$，$a_{2}=\lambda b_{2}$，$a_{3}=\lambda b_{3}(\lambda\in\mathbf{R})$；
垂直关系：$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\Leftrightarrow\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0\Leftrightarrow a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=0$。

例 2 已知空间三点 A(-2,0,2)，B(-1,1,2)，C(-3,0,4)，设$\boldsymbol{a}=\overrightarrow{AB}$，$\boldsymbol{b}=\overrightarrow{AC}$。
(1)设$|\boldsymbol{c}| = 3$，$\boldsymbol{c}//\overrightarrow{BC}$，求$\boldsymbol{c}$；
(2)若$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$k\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}$互相垂直，求 k。

答案： 例2　解析：
(1)因为$\overrightarrow{BC}=(-2,-1,2)$，且$\boldsymbol{c}//\overrightarrow{BC}$，
所以设$\boldsymbol{c}=\lambda\overrightarrow{BC}=(-2\lambda,-\lambda,2\lambda)$，
得$\vert\boldsymbol{c}\vert=\sqrt{(-2\lambda)^{2}+(-\lambda)^{2}+(2\lambda)^{2}}=3\vert\lambda\vert = 3$，
解得$\lambda=\pm1$，即$\boldsymbol{c}=(-2,-1,2)$或$\boldsymbol{c}=(2,1,-2)$。
(2)因为$\boldsymbol{a}=\overrightarrow{AB}=(1,1,0)$，$\boldsymbol{b}=\overrightarrow{AC}=(-1,0,2)$
所以$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(k - 1,k,2)$，
$k\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}=(k + 2,k,-4)$，
又因为$(k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\perp(k\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b})$，
所以$(k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot(k\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b})=0$，
即$(k - 1,k,2)\cdot(k + 2,k,-4)=2k^{2}+k - 10 = 0$，
解得$k = 2$或$-\frac{5}{2}$。