《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

题型三 利用数量积求向量的夹角或距离
例 3 已知平行六面体 ABCD -$A_1B_1C_1D_1$，$AB = AD = AA_1 = 1$，$\angle BAD=\angle BAA_1=\angle DAA_1 = 60^{\circ}$.
（1）求$AC_1$的长度；
（2）求异面直线$AC_1$与 BC 所成角的余弦值.

答案： 解析：
(1)由题意易知$\overrightarrow{AC_{1}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA_{1}}$，
所以$\overrightarrow{AC_{1}}^{2}=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA_{1}})^{2}=\overrightarrow{AD}^{2}+\overrightarrow{AB}^{2}+\overrightarrow{AA_{1}}^{2}+2\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AA_{1}}+2\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AA_{1}}$，
因为$AB = AD = AA_{1}=1$，$\angle BAD=\angle BAA_{1}=\angle DAA_{1}=60^{\circ}$，
所以$2\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AA_{1}}=2\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AA_{1}}=2\times1\times1\times\frac{1}{2}=1$，$\overrightarrow{AD}^{2}=\overrightarrow{AB}^{2}=\overrightarrow{AA_{1}}^{2}=1$，
所以$\overrightarrow{AC_{1}}^{2}=6\Rightarrow|\overrightarrow{AC_{1}}|=\sqrt{6}$，即$AC_{1}=\sqrt{6}$。
(2)由
(1)可知$\cos\langle\overrightarrow{AC_{1}},\overrightarrow{BC}\rangle=\frac{\overrightarrow{AC_{1}}\cdot\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AC_{1}}||\overrightarrow{BC}|}=\frac{\overrightarrow{AD}^{2}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_{1}}\cdot\overrightarrow{AD}}{\sqrt{6}\times1}=\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
所以异面直线$AC_{1}$与$BC$所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$。

巩固练习 3 （1）如图，长方体 ABCD -$A_1B_1C_1D_1$中，$AA_1 = AB = 2$，$AD = 1$，E，F，G 分别是 DC，AB，$CC_1$的中点，则异面直线$A_1E$与 GF 所成角的余弦值是（ ）
A. 0
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
D. $\frac{\sqrt{15}}{5}$


（2）在四棱柱 ABCD -$A_1B_1C_1D_1$中，若底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，$AA_1 = 2$，$\angle BAA_1=\angle DAA_1=\frac{\pi}{3}$，则四棱柱对角线$AC_1$的长为_______.

答案：
解析：
(1)根据题意可得，$\overrightarrow{A_{1}E}\cdot\overrightarrow{GF}=(\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE})\cdot(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BF})=(-\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC})\cdot(-\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_{1}}-\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{DC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_{1}}^{2}-\overrightarrow{AD}^{2}-\frac{1}{4}\overrightarrow{DC}^{2}=\frac{1}{2}\times4 - 1-\frac{1}{4}\times4 = 0$，
从而得到$\overrightarrow{A_{1}E}$和$\overrightarrow{GF}$垂直，故其所成角的余弦值为0。
(2)如图，可得$\overrightarrow{AC_{1}}=\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{A_{1}C_{1}}=\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$。
则$|\overrightarrow{AC_{1}}|=\sqrt{(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})^{2}}$
$=\sqrt{\overrightarrow{AA_{1}}^{2}+\overrightarrow{AB}^{2}+\overrightarrow{AD}^{2}+2\overrightarrow{AA_{1}}\cdot\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{AA_{1}}\cdot\overrightarrow{AD}}$
$=\sqrt{2^{2}+1^{2}+1^{2}+2\times2\times1\times\cos\frac{\pi}{3}+2\times1\times1\times\cos\frac{\pi}{2}+2\times2\times1\times\cos\frac{\pi}{3}}$
$=\sqrt{10}$。

答案：
(1)A
(2)$\sqrt{10}$

随堂练习
1. 在棱长为 1 的正方体 ABCD -$A_1B_1C_1D_1$中，设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AA_1}=\boldsymbol{c}$，则$\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$的值为（ ）
A. 2
B. 1
C. -1
D. 0

答案： 解析：由题意可知$a\perp b$，$a\perp c$，因此，$a\cdot(b + c)=a\cdot b + a\cdot c = 0$。故选D。
答案：D

2. 已知空间单位向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$两两垂直，则$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}|=$（ ）
A. $\sqrt{3}$
B. $\sqrt{6}$
C. 3
D. 6

答案： 解析：由题意可知$|a| = |b| = |c| = 1$，$a\cdot b = 0$，$a\cdot c = 0$，$c\cdot b = 0$，$|a + b + c|^{2}=(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2a\cdot b + 2b\cdot c + 2a\cdot c = 1^{2}+1^{2}+1^{2}=3$，$\therefore|a + b + c|=\sqrt{3}$。故选A。
答案：A

3. 如图，二面角$\alpha - l - \beta$等于$120^{\circ}$，A，B 是棱$l$上两点，BD，AC 分别在半平面$\alpha$，$\beta$内，$AC\perp l$，$BD\perp l$，且$AB = 1$，$AC = 2$，$BD = 3$，则$CD=$（ ）


A. $2\sqrt{2}$
B. $2\sqrt{3}$
C. 4
D. $2\sqrt{5}$

答案： 解析：由题意得$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，两边平方得，$\overrightarrow{CD}^{2}=(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD})^{2}=\overrightarrow{CA}^{2}+\overrightarrow{AB}^{2}+\overrightarrow{BD}^{2}+2\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BD}+2\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{CA}=4 + 1 + 9+0 + 0+2\times2\times3\cos60^{\circ}=20$，
所以$|\overrightarrow{CD}|=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。故选D。
答案：D

4. 如图，在长方体 ABCD -$A_1B_1C_1D_1$中，设$AD = AA_1 = 1$，$AB = 2$，P 是$C_1D_1$的中点，则$\overrightarrow{B_1C}$与$\overrightarrow{A_1P}$所成角的大小为________，$\overrightarrow{B_1C}\cdot\overrightarrow{A_1P}=$________.

答案： 解析：根据向量的线性运算可得
$\overrightarrow{B_{1}C}\cdot\overrightarrow{A_{1}P}=(\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{AD})\cdot(\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{AD}^{2}=1$。
由题意可得$PA_{1}=B_{1}C=\sqrt{2}$，
则$\sqrt{2}\times\sqrt{2}\times\cos\langle\overrightarrow{B_{1}C},\overrightarrow{A_{1}P}\rangle=1$，
从而$\langle\overrightarrow{B_{1}C},\overrightarrow{A_{1}P}\rangle=60^{\circ}$。
答案：$60^{\circ}$ 1