《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

题型一 直线的一般式方程
【问题探究 1】
(1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于 x，y 的二元一次方程表示吗？为什么？
(2)任意一个关于 x，y 的二元一次方程 Ax + By + C = 0(A，B 不同时为 0)都表示一条直线吗？为什么？

答案： 问题探究1　提示:
(1)都可以.原因如下:①任意一条直线$l$，在其上任取一点$P_0(x_0,y_0)$，当直线$l$的斜率为$k$时（此时直线的倾斜角$\alpha\neq90^{\circ}$），其方程为$y - y_0 = k(x - x_0)$，这是关于$x,y$的二元一次方程.②当直线$l$的斜率不存在，即直线$l$的倾斜角$\alpha = 90^{\circ}$时，直线的方程为$x - x_0 = 0$，可以认为是关于$x,y$的二元一次方程，此时方程中$y$的系数为$0$.方程$y - y_0 = k(x - x_0)$和$x - x_0 = 0$都是二元一次方程，因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于$x,y$的二元一次方程表示.
(2)当$B\neq0$时，方程$Ax + By + C = 0$可变形为$y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}$，它表示过点$(0,-\frac{C}{B})$，斜率为$-\frac{A}{B}$的直线.当$B = 0$时，$A\neq0$，方程$Ax + By + C = 0$可变形为$x=-\frac{C}{A}$，它表示过点$(-\frac{C}{A},0)$，且垂直于$x$轴的直线.由上可知，关于$x,y$的二元一次方程$Ax + By + C = 0(A,B$不同时为$0)$都表示一条直线.

例 1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.
(1)求经过 A(-1，5)，B(2，1)两点的直线方程；
(2)求在 x 轴，y 轴上的截距分别是 -3，-1 的直线方程；
(3)求经过点 Q(-1，2)且斜率为 -2 的直线方程.

答案： 例1　解析:
(1)由两点式方程，可知所求直线的方程为$\frac{y - 5}{1 - 5}=\frac{x + 1}{2+1}$，化为一般式方程为$4x + 3y - 11 = 0$.
(2)由截距式方程，可知所求直线的方程为$\frac{x}{-3}+\frac{y}{-1}=1$，化为一般式方程为$x + 3y + 3 = 0$.
(3)因为经过点$Q(-1,2)$，由点斜式方程可得$y - 2 = -2(x + 1)$，化为一般式方程为$2x + y = 0$.

巩固练习 1 根据下列条件，写出直线方程的一般式：
(1)经过点(0，2)，且倾斜角为 $\frac{\pi}{3}$；
(2)经过点(2，1)，在 x，y 轴上有不为 0 且相等的截距.

答案： 巩固练习1　解析:
(1)由题意可知该直线的斜率为$k=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$，在纵轴上的截距为$b = 2$，所以该直线方程为$y=\sqrt{3}x + 2\Rightarrow\sqrt{3}x - y + 2 = 0$.
(2)由题意可设该直线在两坐标轴的截距为$m(m\neq0)$，由截距式可得其方程为$\frac{x}{m}+\frac{y}{m}=1$，代入点$(2,1)$得$\frac{2}{m}+\frac{1}{m}=1\Rightarrow m = 3\Rightarrow x + y - 3 = 0$.

题型二 利用直线的一般式方程解决平行、垂直问题
【问题探究 2】 已知直线 $l_1:A_1x + B_1y + C_1 = 0$，$l_2:A_2x + B_2y + C_2 = 0$，若 $B_1$，$B_2\neq0$，则由 $l_1// l_2$，$l_1\perp l_2$ 可得什么结论？

答案： 问题探究2　提示:$l_1// l_2\Rightarrow\frac{A_1}{B_1}=\frac{A_2}{B_2}$且$\frac{C_1}{B_1}\neq\frac{C_2}{B_2}$，即$A_1B_2 = A_2B_1$，且$B_1C_2\neq B_2C_1$，$l_1\perp l_2\Rightarrow(-\frac{A_1}{B_1})(-\frac{A_2}{B_2})=-1$，即$A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.

例 2 已知直线 $l_1:mx - 2y + 1 = 0$，$l_2:x - (m + 1)y + 1 = 0$，分别求 m 的取值范围，使得：
(1)$l_1// l_2$；
(2)$l_1\perp l_2$.

答案： 例2　解析:
(1)因为直线$l_1:mx - 2y + 1 = 0$，$l_2:x-(m + 1)y+1 = 0$满足$l_1// l_2$，所以$\begin{cases}-m(m + 1)-1\times(-2)=0\\-(m + 1)-1\times(-2)\neq0\end{cases}$，即$\begin{cases}m^2 + m - 2 = 0\\m\neq1\end{cases}$，解得$m = -2$.所以当$m = -2$时，$l_1// l_2$.
(2)因为直线$l_1:mx - 2y + 1 = 0$，$l_2:x-(m + 1)y + 1 = 0$满足$l_1\perp l_2$，所以$m + 2(m + 1)=0$，解得$m = -\frac{2}{3}$.所以当$m = -\frac{2}{3}$时，$l_1\perp l_2$.

巩固练习 2 已知直线 l 的方程为 3x + 4y - 12 = 0，求满足下列条件的直线 l'的方程：
(1)过点(-1，3)，且与 l 平行；
(2)过点(-1，3)，且与 l 垂直.

答案： 巩固练习2　解析:
(1)由$l'$与$l$平行，可设$l'$的方程为$3x + 4y + m = 0$.将点$(-1,3)$代入上式得$m = -9$.$\therefore$所求直线的方程为$3x + 4y - 9 = 0$.
(2)由$l'$与$l$垂直，可设$l'$的方程为$4x - 3y + n = 0$.将$(-1,3)$代入上式得$n = 13$.$\therefore$所求直线的方程为$4x - 3y + 13 = 0$.