《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

题型一 点到直线的距离
【问题探究1】(1)如图，平面直角坐标系中，已知点P(x₀,y₀)，直线l:Ax + By + C = 0(A≠0,B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢?

(2)向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，怎样用向量方法求点到直线l的距离呢?

答案：
问题探究1　提示:
(1)根据定义，点$P$到直线$l$的距离是点$P$到直线$l$的垂线段的长，如图，

设点$P$到直线$l$的垂线为$l'$，垂足为$Q$，由$l'\perp l$可知$l'$的斜率为$\frac{B}{A}$，
$\therefore l'$的方程为$y - y_0 = \frac{B}{A}(x - x_0)$，与$l$联立方程组，
解得交点$Q(\frac{B^2x_0 - ABy_0 - AC}{A^2 + B^2}, \frac{A^2y_0 - ABx_0 - BC}{A^2 + B^2})$，
$\therefore |PQ| = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$。
(2)$\overrightarrow{PQ}$可以看作$\overrightarrow{PM}$在直线$l$的垂线上的投影向量，直线$l$：$Ax + By + C = 0(AB\neq0)$的斜率为$-\frac{A}{B}$，所以$\boldsymbol{m}=(B, -A)$是它的一个方向向量。
①由向量的数量积运算可求得与直线$l$垂直的一个单位向量$\boldsymbol{n}=\frac{1}{\sqrt{A^2 + B^2}}(A,B)$。
②在直线$l$上任取点$M(x,y)$，可得向量$\overrightarrow{PM}=(x - x_0,y - y_0)$。
③$|PQ| = |\overrightarrow{PQ}| = |\overrightarrow{PM}\cdot\boldsymbol{n}| = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$。

例1 已知△ABC的三个顶点是A(1,1)，B( - 2,4)，C(5,7)。若直线l过点B，且点A，C到直线l的距离相等，求直线l的方程。

答案： 例1　解析:当直线$l$的斜率不存在时，直线$l$的方程为$x = -2$，
此时点$A(1,1)$到直线$l$的距离为$3$，点$C(5,7)$到直线$l$的距离为$7$，不符合题意；
当直线$l$的斜率存在时，设直线$l$的斜率为$k$，
所以直线$l$的方程为$y - 4 = k(x + 2)$，即$kx - y + 2k + 4 = 0$，
由题知，$\frac{|k - 1 + 2k + 4|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{|5k - 7 + 2k + 4|}{\sqrt{k^2 + 1}}$，
化简得到$|3k + 3| = |7k - 3|$，
解得$k = 0$或$k = \frac{3}{2}$，
所以直线$l$的方程为$y = 4$或$3x - 2y + 14 = 0$。

巩固练习1 (1)若点P(1,3)到直线l:4x + 3y + a = 0(a＞0)的距离为3，则a = （ ）
A.2
B.3
C.3/2
D.4
(2)已知△ABC的三个顶点的坐标为A(3,3)，B(2, - 2)，C( - 7,1)，则△ABC的面积为________。

答案： 巩固练习1　解析:
(1)由点到直线距离公式知，$d = \frac{|4 + 9 + a|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|13 + a|}{5} = \frac{13 + a}{5} = 3(a＞0)$，解得$a = 2$。故选A。
(2)$|BC| = \sqrt{(2 + 7)^2 + (-2 - 1)^2} = 3\sqrt{10}$，$k_{BC} = \frac{-2 - 1}{2 - (-7)} = -\frac{1}{3}$，则直线$BC$的方程为$y + 2 = -\frac{1}{3}(x - 2)$，即$x + 3y + 4 = 0$，$A$到直线$BC$的距离$d = \frac{|3 + 3\times3 + 4|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{16}{\sqrt{10}}$，则$\triangle ABC$的面积为$S = \frac{1}{2}|BC|\cdot d = \frac{1}{2}\times3\sqrt{10}\times\frac{16}{\sqrt{10}} = 24$。
答案:
(1)A　
(2)24

题型二 两条平行直线间的距离
【问题探究2】(1)已知两条平行直线l₁，l₂的方程，如何求l₁与l₂间的距离?
(2)怎样求两条平行直线Ax + By + C₁ = 0与Ax + By + C₂ = 0间的距离?

答案：
问题探究2　提示:
(1)根据两条平行直线间距离的含义，在直线$l_1$上任取一点$P(x_0,y_0)$，点$P(x_0,y_0)$到直线$l_2$的距离就是直线$l_1$与直线$l_2$间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离。

(2)在直线$Ax + By + C_1 = 0$上任取一点$P(x_0,y_0)$，点$P(x_0,y_0)$到直线$Ax + By + C_2 = 0$的距离，就是这两条平行直线间的距离即$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$，
因为点$P(x_0,y_0)$在直线$Ax + By + C_1 = 0$上，
所以$Ax_0 + By_0 + C_1 = 0$，即$Ax_0 + By_0 = -C_1$，
因此$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|-C_1 + C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$。

例2 已知直线l₁:2x + 3y + 18 = 0，l₂:2x + 3y - 8 = 0，在l₁上任取点A，在l₂上任取点B，过线段AB的中点作l₂的平行线l₃。
(1)求直线l₁与l₂之间的距离；
(2)求直线l₃的方程。

答案： 例2　解析:
(1)易知$l_1$与$l_2$平行，所以两平行直线$l_1$与$l_2$间的距离为$d = \frac{|18 + 8|}{\sqrt{4 + 9}} = 2\sqrt{13}$。
(2)由$l_3$与$l_2$平行可知，设$l_3$的方程为$2x + 3y + C = 0(-8 ＜ C ＜ 18)$。
由题意知$l_3$与$l_1$之间的距离为$\sqrt{13}$，
所以有$\frac{|C - 18|}{\sqrt{4 + 9}} = \sqrt{13}$，解得$C = 5$或$C = 31$（舍去），
所以$l_3$的方程为$2x + 3y + 5 = 0$。

巩固练习2 (1)若倾斜角为45°的直线m被直线l₁:x + y - 1 = 0与l₂:x + y - 3 = 0所截得的线段为AB，则AB的长为（ ）
A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2
(2)已知两条平行直线l₁:2x - y - 3 = 0，l₂:4x - my - 1 = 0(m∈R)，则l₁与l₂间的距离为________。

答案： 巩固练习2　解析:
(1)由题意，可得直线$m$与直线$l_1$，$l_2$垂直，
则由两平行线间的距离公式，得$|AB| = \frac{|-1 + 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \sqrt{2}$。故选B。
(2)由题意得直线$l_1// l_2$，直线$l_1$可化简为$4x - 2y - 6 = 0$，
所以两平行线间的距离为$d = \frac{|-6 + 1|}{\sqrt{4^2 + 2^2}} = \frac{5}{\sqrt{20}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$。
答案:
(1)B　
(2)$\frac{\sqrt{5}}{2}$