《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

巩固练习2 如图，已知空间四边形$ABCD$，连接$AC$，$BD$，$E$，$F$，$G$分别是$BC$，$CD$，$DB$的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.
（1）$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DC}$；
（2）$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DG}-\overrightarrow{CE}$.

答案：
巩固练习2解析:　
(1)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$，如图中向量$\overrightarrow{AD}$.
(2)$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DG}-\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{AF}$，如图中向量$\overrightarrow{AF}$.

【问题探究3】空间向量的数乘运算与平面向量的数乘运算有什么关系？

答案： 问题探究3提示:相同.

例3 如图所示，在平行六面体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，设$\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{c}$，$M$，$N$，$P$分别是$AA_{1}$，$BC$，$C_{1}D_{1}$的中点，试用$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$表示以下各向量：
（1）$\overrightarrow{AP}$；（2）$\overrightarrow{A_{1}N}$；（3）$\overrightarrow{MP}$.

答案： 例3解析:
(1)$\because$点$P$是$C_{1}D_{1}$的中点，$\therefore\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{A_{1}D_{1}}+\overrightarrow{D_{1}P}=\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$.
(2)$\because$点$N$是$BC$的中点，$\therefore\overrightarrow{A_{1}N}=\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=-\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$.
(3)$\because$点$M$是$AA_{1}$的中点，$\therefore\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{AP}=-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b})=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$.

巩固练习3 在三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{c}$.点$M$在棱$BC$上，且$BM = 2MC$，$N$为$AA_{1}$的中点，若以$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$为基底，则$\overrightarrow{MN}=$（ ）
A.$-\frac{2}{3}\boldsymbol{a}-\frac{1}{3}\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$
B.$\frac{2}{3}\boldsymbol{a}-\frac{1}{3}\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$
C.$-\frac{1}{3}\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\boldsymbol{b}-\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$
D.$-\frac{1}{3}\boldsymbol{a}-\frac{2}{3}\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$

答案：
巩固练习3解析:如图，因为$BM = 2MC$，所以$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{3}\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\boldsymbol{b}$，因为$N$为$AA_{1}$的中点，所以$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_{1}}=\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$，所以$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=-\frac{1}{3}\boldsymbol{a}-\frac{2}{3}\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$.故选D.
答案:D

1.在长方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，下列向量与$\overrightarrow{CD}$是相等向量的是（ ）
A.$\overrightarrow{AB}$
B.$\overrightarrow{BA}$
C.$\overrightarrow{A_{1}B_{1}}$
D.$\overrightarrow{DC}$

答案：
1.解析:如图所示的长方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{CD}$方向相反，所以这两个向量不相等，因此A项不正确；向量$\overrightarrow{BA}$与$\overrightarrow{CD}$大小相等，方向相同，所以这两个向量相等，因此B项正确；向量$\overrightarrow{A_{1}B_{1}}$与$\overrightarrow{CD}$方向相反，所以这两个向量不相等，因此C项不正确；显然向量$\overrightarrow{CD}$与向量$\overrightarrow{DC}$方向相反，所以这两个向量不相等，因此D项不正确.故选B.

　答案:B

2.在空间四边形$OABC$中，$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=$（ ）
A.$\overrightarrow{OA}$
B.$\overrightarrow{AC}$
C.$\overrightarrow{OC}$
D.$\overrightarrow{AB}$

答案： 2.解析:$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}$.故选A.
　答案:A

3.设有四边形$ABCD$，$O$为空间任意一点，且$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC}$，则四边形$ABCD$是（ ）
A.平行四边形
B.空间四边形
C.等腰梯形
D.矩形

答案： 3.解析:$\because\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC}$，$\therefore\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，$\therefore$线段$AB$，$DC$平行且相等，$\therefore$四边形$ABCD$为平行四边形.故选A.
　答案:A

4.如图，在四面体$ABCD$中，$E$，$F$分别是$BC$，$CD$的中点，则$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD})=$________.

答案： 4.解析:因为$\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD})=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DF}$，所以$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD})=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AF}$.
　答案:$\overrightarrow{AF}$