《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

【问题探究】空间中怎样的向量能构成基底？基底与基向量的概念有什么不同？

答案： 不共面的三个向量. 基底是指一组向量，即$\{a,b,c\}$，而基向量是指基底中某个向量，即$a,b,c$都叫做基向量.

例 1 已知$\{i,j,k\}$是空间的一个基底，且$\overrightarrow{OA}=i + 2j - k$，$\overrightarrow{OB}=-3i + j + 2k$，$\overrightarrow{OC}=i + j - k$，试判断$\{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\}$能否作为空间的一个基底.

答案： 假设$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$共面，
由向量共面的充要条件知，存在实数$x,y$，
使得$\overrightarrow{OA}=x\overrightarrow{OB}+y\overrightarrow{OC}$成立，
$i + 2j - k = x(-3i + j + 2k)+y(i + j - k)=(-3x + y)i+(x + y)j+(2x - y)k$.
因为$\{i,j,k\}$是空间的一个基底，所以$i,j,k$不共面，
所以$\begin{cases}-3x + y = 1,\\x + y = 2,\\2x - y = -1.\end{cases}$此方程组无解.
即不存在实数$x,y$，
使得$\overrightarrow{OA}=x\overrightarrow{OB}+y\overrightarrow{OC}$成立，
所以$\{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\}$能作为空间的一个基底.

巩固练习 1 设$x = a + b$，$y = b + c$，$z = c + a$，且$\{a,b,c\}$是空间向量的一个基底. 给出下列向量组：①$\{a,b,x\}$，②$\{x,y,z\}$，③$\{b,c,z\}$，④$\{x,y,a + b + c\}$. 其中可以作为空间向量的一个基底的有______个.

答案：
如图,设$a = \overrightarrow{AB}$，$b = \overrightarrow{AA_{1}}$，$c = \overrightarrow{AD}$，则$x = \overrightarrow{AB_{1}}$，$y = \overrightarrow{AD_{1}}$，$z = \overrightarrow{AC}$，$a + b + c = \overrightarrow{AC_{1}}$，由$A$，$B_{1}$，$D_{1}$，$C$四点不共面可知向量$x,y,z$也不共面. 同理可知$b,c,z$和$x,y,a + b + c$也不共面，可以作为空间向量的一个基底，因为$x = a + b$，故$a,b,x$共面，故不能作为空间向量的一个基底.

答案：3

例 2 如图，在平行六面体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$\overrightarrow{MA}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{ND}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A_{1}D}$，设$\overrightarrow{AB}=a$，$\overrightarrow{AD}=b$，$\overrightarrow{AA_{1}}=c$，请用向量$a,b,c$表示$\overrightarrow{MN}$.

变式练 本例条件不变，请用向量$a,b,c$表示$\overrightarrow{MD_{1}}$.

答案：
如图,连接$AN$，则$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}$.

因为$\overrightarrow{MA}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=-\frac{1}{3}(a + b)$，
$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{A_{1}D}=\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AA_{1}})=b-\frac{1}{3}(b - c)$，
所以$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=-\frac{1}{3}(a + b)+b-\frac{1}{3}(b - c)=\frac{1}{3}(-a + b + c)$.
变式练解析：因为$\overrightarrow{MA}=-\frac{1}{3}(a + b)$，
所以$\overrightarrow{MD_{1}}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD_{1}}=-\frac{1}{3}(a + b)+b + c=-\frac{1}{3}a+\frac{2}{3}b + c$.