《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

角度二 平行、垂直关系在立体几何证明中的应用
例 3 正方体 ABCD - A₁B₁C₁D₁ 中，E 是棱 D₁D 的中点，P，Q 分别为线段 B₁D₁，BD 上的点，且 3$\overrightarrow{B_1P}=\overrightarrow{PD_1}$，若$PQ\perp AE$，$\overrightarrow{BD}=\lambda\overrightarrow{DQ}$，求$\lambda$的值。
变式练 若 G 是 A₁D 的中点，点 H 在平面 xDy 上，且$GH// BD_1$，试判断点 H 的位置。

答案：
例3　解析：如图所示，以$D$为坐标原点，$DA$，$DC$，$DD_{1}$所在直线分别为$x$轴，$y$轴，$z$轴，建立空间直角坐标系$Dxyz$，设正方体棱长为$1$，

则$A(1,0,0)$，$E(0,0,\frac{1}{2})$，$B(1,1,0)$，$B_{1}(1,1,1)$，$D_{1}(0,0,1)$，
由题意，可设点$P$的坐标为$(a,a,1)$，
因为$3\overrightarrow{B_{1}P}=\overrightarrow{PD_{1}}$，
所以$3(a - 1,a - 1,0)=(-a,-a,0)$，
所以$3a - 3 = - a$，解得$a=\frac{3}{4}$，
所以点$P$的坐标为$(\frac{3}{4},\frac{3}{4},1)$。
由题意可设点$Q$的坐标为$(b,b,0)$，
因为$PQ\perp AE$，所以$\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{AE}=0$，
所以$(b-\frac{3}{4},b-\frac{3}{4},-1)(-1,0,\frac{1}{2})=0$，
解得$b=\frac{1}{4}$，所以点$Q$的坐标为$(\frac{1}{4},\frac{1}{4},0)$。
因为$\overrightarrow{BD}=\lambda\overrightarrow{DQ}$，所以$(-1,-1,0)=\lambda(\frac{1}{4},\frac{1}{4},0)$，
所以$\frac{\lambda}{4}=-1$，故$\lambda=-4$。
变式练　解析：因为$G$是$A_{1}D$的中点，所以点$G$的坐标为$(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2})$，
因为点$H$在平面$xDy$上，设点$H$的坐标为$(m,n,0)$，
因为$\overrightarrow{GH}=(m,n,0)-(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2})=(m-\frac{1}{2},n,-\frac{1}{2})$，
$\overrightarrow{BD_{1}}=(0,0,1)-(1,1,0)=(-1,-1,1)$，且$\overrightarrow{GH}//\overrightarrow{BD_{1}}$，
所以$\frac{m-\frac{1}{2}}{-1}=\frac{n}{-1}=\frac{-\frac{1}{2}}{1}$，解得$m = 1$，$n=\frac{1}{2}$。
所以点$H$的坐标为$(1,\frac{1}{2},0)$，
所以$H$为线段$AB$的中点。

巩固练习 2 (1)向量$\boldsymbol{a}=(2x,1,3)$，$\boldsymbol{b}=(1,-2y,9)$，若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，则（ ）
A.$x = -\frac{1}{6}$，$y = \frac{2}{3}$ B.$x = \frac{1}{6}$，$y = -\frac{3}{2}$ C.$x = \frac{1}{2}$，$y = -\frac{1}{2}$ D.$x = y = 1$
(2)如图所示，MA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，MA = 2AB，P 是 MC 上一点，且$\overrightarrow{CP}=\frac{1}{5}\overrightarrow{CM}$。

求证：$MB\perp DP$。

答案：
巩固练习2　解析：
(1)由题设$\frac{2x}{1}=\frac{1}{-2y}=\frac{3}{9}$，故$x=\frac{1}{6}$，$y=-\frac{3}{2}$。故选B。
(2)证明：如图，以$A$为原点，建立空间直角坐标系，
则$M(0,0,2)$，$B(1,0,0)$，$C(1,1,0)$，$D(0,1,0)$。
设$P(x,y,z)$，$\overrightarrow{CP}=(x - 1,y - 1,z)$，$\overrightarrow{CM}=(-1,-1,2)$，
$\because\overrightarrow{CP}=\frac{1}{5}\overrightarrow{CM}$，$\therefore(x - 1,y - 1,z)=\frac{1}{5}(-1,-1,2)$，

解得$x=\frac{4}{5}$，$y=\frac{4}{5}$，$z=\frac{2}{5}$，
故点$P$的坐标为$(\frac{4}{5},\frac{4}{5},\frac{2}{5})$。
$\therefore\overrightarrow{MB}=(1,0,-2)$，$\overrightarrow{DP}=(\frac{4}{5},-\frac{1}{5},\frac{2}{5})$，
$\because\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{DP}=1\times\frac{4}{5}+0\times(-\frac{1}{5})+(-2)\times\frac{2}{5}=0$，
$\therefore MB\perp DP$。
答案：
(1)B　
(2)见解析