《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

【问题探究 1】 平面向量共线的充要条件是什么？该充要条件是否适用于空间向量？

答案： 问题探究1提示:已知两个平面向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}(\boldsymbol{b}\neq\boldsymbol{0})$，则$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}\Leftrightarrow$存在实数$\lambda$，使$\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{b}$. 由于空间向量共线与平面向量共线的定义相同，因此该充要条件也适用于空间向量.

例 1 如图，在正方体 ABCD - $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，E 在$A_{1}D_{1}$上，且$\overrightarrow{A_{1}E}=2\overrightarrow{ED_{1}}$，F 在对角线$A_{1}C$上，且$\overrightarrow{A_{1}F}=\frac{2}{3}\overrightarrow{FC}$，求证：E，F，B 三点共线.

答案： 例1证明:设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{c}$.
∵$\overrightarrow{A_{1}E}=2\overrightarrow{ED_{1}},\overrightarrow{A_{1}F}=\frac{2}{3}\overrightarrow{FC}$，
∴$\overrightarrow{A_{1}E}=\frac{2}{3}\overrightarrow{A_{1}D_{1}},\overrightarrow{A_{1}F}=\frac{2}{5}\overrightarrow{A_{1}C}$.
∴$\overrightarrow{A_{1}E}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\boldsymbol{b},\overrightarrow{A_{1}F}=\frac{2}{5}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AA_{1}})=\frac{2}{5}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AA_{1}})=\frac{2}{5}\boldsymbol{a}+\frac{2}{5}\boldsymbol{b}-\frac{2}{5}\boldsymbol{c}$.
∴$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{A_{1}F}-\overrightarrow{A_{1}E}=\frac{2}{5}\boldsymbol{a}-\frac{4}{15}\boldsymbol{b}-\frac{2}{5}\boldsymbol{c}=\frac{2}{5}(\boldsymbol{a}-\frac{2}{3}\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})$.
　又$\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA_{1}}+\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{AB}=-\frac{2}{3}\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}+\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}-\frac{2}{3}\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$，
∴$\overrightarrow{EF}=\frac{2}{5}\overrightarrow{EB}$，所以$E,F,B$三点共线.

巩固练习 1 如图，四边形 ABCD，ABEF 都是平行四边形且不共面，M，N 分别是 AC，BF 的中点，判断$\overrightarrow{CE}$与$\overrightarrow{MN}$是否共线？

答案： 巩固练习1解析:因为$M,N$分别是$AC,BF$的中点，而四边形$ABCD,ABEF$都是平行四边形，
　所以$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}+\frac{1}{2}\overrightarrow{FB}$.
　又$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CE}-\overrightarrow{AF}-\frac{1}{2}\overrightarrow{FB}$，
　所以$\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}+\frac{1}{2}\overrightarrow{FB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CE}-\overrightarrow{AF}-\frac{1}{2}\overrightarrow{FB}$.
　所以$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FB}=2(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FN})=2\overrightarrow{MN}$，即$\overrightarrow{CE}=2\overrightarrow{MN}$，即$\overrightarrow{CE}$与$\overrightarrow{MN}$共线.

【问题探究 2】 由于向量可以平移，所以任意两个向量共面，探究任意三个向量是否共面？

答案：
问题探究2提示:不一定，如图所示，$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{PC}$三个向量不共面，但$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BC}$三个向量共面.
　

【问题探究 3】 对两个不共线的空间向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，如果$\boldsymbol{p}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}$，那么向量$\boldsymbol{p}$与向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$有什么位置关系？反过来，向量$\boldsymbol{p}$与向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$有什么位置关系时，$\boldsymbol{p}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}$？

答案： 问题探究3提示:向量$\boldsymbol{p}$与不共线向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$共面的充要条件是存在唯一的有序实数对$(x,y)$，使$\boldsymbol{p}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}$.

例 2 已知 A，B，C 三点不共线，O 为平面 ABC 外一点，若点 M 满足$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$.
(1)判断$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{MC}$三个向量是否共面；
(2)判断 M 是否在平面 ABC 内.

答案： 例2解析:
(1)
∵$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OM}$，
∴$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}=(\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB})+(\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OC})$，
∴$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM}=-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}$，
∴向量$\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC}$共面.
(2)由
(1)知向量$\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC}$共面，而它们有共同的起点$M$，且$A,B,C$三点不共线，
∴$M,A,B,C$共面，即$M$在平面$ABC$内.

巩固练习 2 如图，在四面体 P - ABC 中，点 M，N 分别为 PA，PB 的中点，问：$\overrightarrow{MN}$与$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AC}$是否共面？

答案： 巩固练习2解析:
∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}$，且$M,N$分别为$PA,PB$的中点，
　所以$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PN}-\overrightarrow{PM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{PA}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA})=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.
　因此，$\overrightarrow{MN}$与$\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}$共面.