《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

巩固练习 2 某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为 2 米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道距离 5 米.在建筑物底面中心 O 的北偏东 45°方向 10$\sqrt{2}$米的点 A 处，有一台 360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度.请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题：

(1)在西辅道上与建筑物底面中心 O 距离 4 米处的游客，是否在摄像头监控范围内？
(2)求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度.

答案：
解析：
(1)设O为原点，正东方向为x轴，建立平面直角坐标系，$O(0,0)$，
因为$OA = 10\sqrt{2}$，$\angle AOx = 45^{\circ}$，则$A(10,10)$，依题意得，游客所在位置为$B(-4,0)$，
则直线AB的方程为$5x-7y + 20 = 0$，
所以圆心O到直线AB的距离$d=\frac{\vert20\vert}{\sqrt{25 + 49}}=\frac{20}{\sqrt{74}}＞\frac{20}{\sqrt{100}} = 2$，
所以直线AB与圆O相离，所以游客在该摄像头的监控范围内。
(2)由图知，过A的直线与圆O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物挡住，
所以设直线l过点A且和圆相切，
①若直线l垂直于x轴，则直线l不会和圆相切；
②若直线l不垂直于x轴，设$l:y - 10 = k(x - 10)$，整理得$l:kx-y + 10-10k = 0$，
所以圆心O到直线l的距离为$\frac{\vert10-10k\vert}{\sqrt{k^{2}+1}} = 2$，解得$k=\frac{4}{3}$或$k=\frac{3}{4}$，
所以直线$l:y - 10=\frac{3}{4}(x - 10)$或$y - 10=\frac{4}{3}(x - 10)$，
即$3x-4y + 10 = 0$或$4x-3y-10 = 0$，
观景直道所在直线方程为$y=-5$，
设两条直线与$y=-5$的交点为$D$，$E$，
由$\begin{cases}3x-4y + 10 = 0\\y=-5\end{cases}$解得$x=-10$，
由$\begin{cases}4x-3y-10 = 0\\y=-5\end{cases}$解得$x=-\frac{5}{4}$，
所以$DE=\vert-\frac{5}{4}-(-10)\vert=\frac{35}{4}=8.75$，
答：观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为8.75米。

1.一涵洞的横截面是半径为 5 m 的半圆，则该半圆的方程是（ ）
A.$x^{2}+y^{2}=25$
B.$x^{2}+y^{2}=25(y\geq0)$
C.$(x + 5)^{2}+y^{2}=25(y\leq0)$
D.随建立直角坐标系的变化而变化

答案： 答案：D

2.一辆货车宽 1.6 米，要经过一个半径为 3.6 米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为（ ）
A.2.4 米
B.3.5 米
C.3.6 米
D.2.0 米

答案：
解析：以半圆直径所在直线为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系。易知半圆所在的圆的方程为$x^{2}+y^{2}=3.6^{2}(y\geqslant0)$，由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，此时$x = 0.8$或$x=-0.8$，代入$x^{2}+y^{2}=3.6^{2}$，得$y\approx3.5$(负值舍去)。故选B。
答案：B

3.一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西 70 km 处，受影响的范围是半径长为 30 km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北 40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它______（填“会”“不会”）受到台风的影响.

答案：
解析：如图，以台风中心为原点O，以东西方向为x轴，建立直角坐标系，其中取10 km为单位长度。则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O，圆的方程为$x^{2}+y^{2}=9$；轮船航线所在的直线l的方程为$4x + 7y-28 = 0$。可知直线与圆相离，故轮船不会受到台风的影响。
答案：不会