《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

巩固练习1 如图，在正四棱柱ABCD - A₁B₁C₁D₁中，AB = 2，AA₁ = 4.点A₂，B₂，C₂，D₂分别在棱AA₁，BB₁，CC₁，DD₁上，AA₂ = 1，BB₂ = DD₂ = 2，CC₂ = 3.证明：B₂C₂//A₂D₂.

答案：
证明:根据正四棱柱性质可知，以C为坐标原点，CD,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系，如图所示

则C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),A2(2,2,1)，所以$\overrightarrow{B_{2}C_{2}}$=(0,-2,1)，$\overrightarrow{A_{2}D_{2}}$=(0,-2,1)，可得$\overrightarrow{B_{2}C_{2}}$=$\overrightarrow{A_{2}D_{2}}$，即向量$\overrightarrow{B_{2}C_{2}}$与$\overrightarrow{A_{2}D_{2}}$共线，又B2C2，A2D2不在同一条直线上，所以B2C2//A2D2.

[问题探究2] 观察下图，直线l与平面α平行，u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？

答案： 提示:垂直.

例2 如图，在三棱柱ABC - A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，D，E分别为棱AB，B₁C₁的中点，BC = 2，AB = 2$\sqrt{3}$，A₁C₁ = 4.证明：DE//平面ACC₁A₁.

答案：
证明:在三棱柱ABC−A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,BC = 2,AB = 2$\sqrt{3}$,A1C1 = 4.所以AC = A1C1 = 4，则AC² = AB² + BC²，则AB⊥BC，如图，以B为原点,BC,BA,BB1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系

设BB1 = h,则A(0,2$\sqrt{3}$,0),B(0,0,0),C(2,0,0),A1(0,2$\sqrt{3}$,h),B1(0,0,h),C1(2,0,h),D(0,$\sqrt{3}$,0),E(1,0,h)，所以$\overrightarrow{DE}$=(1,-$\sqrt{3}$,h)，$\overrightarrow{AC}$=(2,-2$\sqrt{3}$,0)，$\overrightarrow{AA_{1}}$=(0,0,h)，设平面ACC1A1的一个法向量为n=(x,y,z)，所以$\begin{cases}\overrightarrow{AC} \cdot n = 2x - 2\sqrt{3}y = 0\\\overrightarrow{AA_{1}} \cdot n = hz = 0\end{cases}$，令y = 1，则x = $\sqrt{3}$，z = 0，即n=($\sqrt{3}$,1,0)，所以$\overrightarrow{DE} \cdot n$=(1,-$\sqrt{3}$,h)·($\sqrt{3}$,1,0)=$\sqrt{3}$ - $\sqrt{3}$ + 0 = 0，得$\overrightarrow{DE}$⊥n，又DE$\not\subset$平面ACC1A1，所以DE//平面ACC1A1.

巩固练习2 如图，在四面体A - BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD = 2，BD = 2$\sqrt{2}$.M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ = 3QC.证明：PQ//平面BCD.

答案：
证明:因为BC⊥CD,AD⊥平面BCD,故以C为原点,CD为x轴,CB为y轴，过点C作DA的平行线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

设CD = a，0 ＜ a ＜ 2$\sqrt{2}$，则BC = $\sqrt{8 - a^{2}}$，可得D(a,0,0),C(0,0,0),B(0,$\sqrt{8 - a^{2}}$,0),A(a,0,2)，因为M是AD的中点，则M(a,0,1)，则P($\frac{a}{2}$,$\frac{\sqrt{8 - a^{2}}}{2}$,$\frac{1}{2}$)，因为AQ = 3QC，Q($\frac{a}{4}$,0,$\frac{1}{2}$)，可得$\overrightarrow{PQ}$=(-$\frac{a}{4}$,-$\frac{\sqrt{8 - a^{2}}}{2}$,0)，因为平面BCD的法向量可取为n=(0,0,1)，则$\overrightarrow{PQ} \cdot n$ = 0，且PQ$\not\subset$平面BCD，所以PQ//平面BCD.