新课程能力培养九年级数学北师大版
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例题 已知$\triangle ABC$和$\triangle DEF$是两个等腰直角三角形，$\angle A=\angle D = 90^{\circ}$，$\triangle DEF$的顶点$E$位于$BC$的中点处。
(1) 如图1，设$DE$与$AB$交于点$M$，$EF$与$AC$交于点$N$，求证：$\triangle BEM\sim\triangle CNE$。
(2) 如图2，将$\triangle DEF$绕点$E$旋转，使得$DE$与$BA$的延长线交于点$M$，$EF$与$AC$交于点$N$。求证：$\triangle ECN\sim\triangle MEN$。
答案：(1) $\triangle ABC$和$\triangle DEF$是等腰直角三角形，$\angle B=\angle C=\angle DEF=45^{\circ}$，$\angle BME+\angle 2=135^{\circ}$，$\angle CNE+\angle 4 = 135^{\circ}$，$\angle 2+\angle 3=135^{\circ}$，$\angle 3+\angle 4=135^{\circ}\Rightarrow\angle 2=\angle 4$，所以$\triangle BEM\sim\triangle CNE$；
(2) 由(1)得$\frac{BE}{CN}=\frac{EM}{NE}$，$E$是$BC$中点$\Rightarrow BE=EC\Rightarrow\frac{EC}{CN}=\frac{EM}{NE}$，$\angle ECN=\angle MEN=45^{\circ}$，所以$\triangle ECN\sim\triangle MEN$
1. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，点$D$是$AC$上一点，$DE\perp AB$于点$E$，若$AC = 8$，$BC = 6$，$DE = 3$，则$AD$的长为
5
。
答案：5
$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$，$\triangle ADE\sim\triangle ABC\Rightarrow\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}\Rightarrow\frac{3}{6}=\frac{AD}{10}\Rightarrow AD = 5$
2. $\triangle ABC$的三边长分别为$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{15}$，$\triangle A'B'C'$的两边长分别为$1$和$\sqrt{2}$，则当$\triangle A'B'C'$的第三边长为
$\sqrt{3}$
时，$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$相似。
答案：$\sqrt{3}$
$\triangle ABC$三边比为$\sqrt{5}:\sqrt{10}:\sqrt{15}=1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$，$\triangle A'B'C'$两边$1$，$\sqrt{2}$与$\triangle ABC$前两边对应成比例，所以第三边为$\sqrt{3}$
