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新课程能力培养九年级数学北师大版

新课程能力培养九年级数学北师大版

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7.你知道吗,对于一元二次方程,我国古代数学家还研究过其几何解法呢!以方程$x(x + 5)=14$,即$x^{2}+5x - 14=0$为例加以说明.数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是:构造图(如下面左图)中大正方形的面积是$(x + x + 5)^{2}$,其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积,即$4×14 + 5^{2}$,则$(x + x + 5)^{2}=81$,据此易得$x=2$.
(1)下面右边三个构图(矩形的顶点均落在边长为$1$的小正方形网格格点上)中,能够说明方程$x^{2}-4x - 12=0$的正确的图形是
(只填序号).
(2)方程$x^{2}-4x - 12=0$的正确构图中大正方形的面积是多少(用含该方程的未知数$x$的代数式表示)?该大正方形面积还可以等于什么?
大正方形面积$(x + x - 4)^{2}=(2x - 4)^{2}$,还等于$4×12 + 4^{2}=48 + 16=64$
(3)由(1)和(2)可得出方程中未知数$x$的值是多少?
$(2x - 4)^{2}=64$,$2x - 4=\pm8$,解得$x=6$或$x=-2$(舍去),$x=6$
答案:(1)②
(2)大正方形面积$(x + x - 4)^{2}=(2x - 4)^{2}$,还等于$4×12 + 4^{2}=48 + 16=64$
(3)$(2x - 4)^{2}=64$,$2x - 4=\pm8$,解得$x=6$或$x=-2$(舍去),$x=6$
8.(2024·青岛)如图,某小区要在长为$16m$、宽为$12m$的矩形空地上建造一个花坛,使花坛四周小路的宽度相等,且花坛所占面积为空地面积的一半,则小路宽为
2
$m$.
答案:2
9.(2024·通辽)如图,小程的爸爸用一段$10m$长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长$5.5m$)的矩形鸭舍,其面积为$15m^{2}$,在鸭舍侧面中间位置留一个$1m$宽的门(由其他材料制成),则$BC$长为(
C

A.$5m$或$6m$
B.$2.5m$或$3m$
C.$5m$
D.$3m$
答案:C