新课程能力培养九年级数学北师大版
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一、选择题（每小题3分，共18分）
1. 两个全等的直角三角形不能肯定拼成的图形是（
C
）
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 等腰三角形
答案：C
解析：两个全等直角三角形可拼成平行四边形（一般情况）、矩形（直角边重合）、等腰三角形（斜边重合），但不一定能拼成菱形（需四边相等，直角三角形边长不一定满足）.
2. 下列说法错误的是（
B
）
A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B. 邻边相等的四边形是正方形
C. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
D. 四个角都相等的四边形是矩形
答案：B
解析：邻边相等的四边形不一定是正方形，可能是菱形等，正方形需邻边相等且有一个直角的平行四边形，B错误.
3. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为$60^{\circ}$的菱形，剪口与折痕所成的角$\alpha$的度数应为（
C
）
A. $15^{\circ}$或$30^{\circ}$
B. $30^{\circ}$或$45^{\circ}$
C. $30^{\circ}$或$60^{\circ}$
D. $45^{\circ}$或$60^{\circ}$
答案：C
解析：长方形对折两次后剪下一个角，菱形的锐角为$60^{\circ}$，则剪口与折痕夹角为$\frac {60^{\circ}}{2}=30^{\circ}$或$\frac {180^{\circ}-60^{\circ}}{2}=60^{\circ}$，C正确.
4. 如图，在$\triangle ABC$中，点$D$，$E$，$F$分别在边$BC$，$AB$，$CA$上，且$DE// CA$，$DF// BA$.下列四种说法：①四边形$AEDF$是平行四边形；②如果$\angle BAC=90^{\circ}$，那么四边形$AEDF$是矩形；③如果$AD$平分$\angle BAC$，那么四边形$AEDF$是菱形；④如果$\angle BAC=90^{\circ}$，$AD$平分$\angle BAC$，那么四边形$AEDF$是正方形.其中正确的个数是（
D
）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：D
解析：①$DE// CA$，$DF// BA$，则四边形$AEDF$是平行四边形，正确；②$\angle BAC=90^{\circ}$，平行四边形$AEDF$是矩形，正确；③$AD$平分$\angle BAC$，则$\angle EAD=\angle FAD$，又$DF// BA$，$\angle EAD=\angle ADF$，所以$\angle FAD=\angle ADF$，$AF = DF$，平行四边形是菱形，正确；④由②③知是正方形，正确，共4个正确，D正确.
5. 如图，边长为1的正方形$ABCD$绕点$A$逆时针旋转$30^{\circ}$得到正方形$AB'C'D'$，则它们的公共部分的面积等于（
B
）
A. $\frac {\sqrt {3}}{3}$
B. $1-\frac {\sqrt {3}}{3}$
C. $1-\frac {\sqrt {3}}{4}$
D. $\frac {1}{2}$
答案：B
解析：设$B'C'$与$CD$交于点$E$，连接$AE$.在$Rt\triangle ADE$和$Rt\triangle AB'E$中，$AD = AB'$，$AE = AE$，所以$Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle AB'E$，$\angle DAE=\angle B'AE = 30^{\circ}$.设$DE = x$，则$AE = 2x$，由勾股定理得$x^{2}+1^{2}=(2x)^{2}$，解得$x=\frac {\sqrt {3}}{3}$，公共部分面积为$1 - 2×\frac {1}{2}×1×\frac {\sqrt {3}}{3}=1-\frac {\sqrt {3}}{3}$，B正确.
6. 如图，四边形$ABCD$为矩形纸片.把纸片$ABCD$折叠，使点$B$恰好落在$CD$边的中点$E$处，折痕为$AF$.若$CD = 6$，则$AF$等于（
B
）
A. $3\sqrt {3}$
B. $4\sqrt {3}$
C. $4\sqrt {2}$
D. 8
答案：B
解析：$CD = 6$，则$AB = 6$，$DE=EC = 3$.设$BF = EF = x$，$AD = BC = y$，则$FC = y - x$.在$Rt\triangle ECF$中，$EC^{2}+FC^{2}=EF^{2}$，即$3^{2}+(y - x)^{2}=x^{2}$.在$Rt\triangle ADE$中，$AE = AB = 6$，$AD^{2}+DE^{2}=AE^{2}$，$y^{2}+3^{2}=6^{2}$，解得$y = 3\sqrt {3}$.代入$9+(3\sqrt {3}-x)^{2}=x^{2}$，解得$x = 2\sqrt {3}$，$AF=\sqrt {AB^{2}+BF^{2}}=\sqrt {6^{2}+(2\sqrt {3})^{2}}=\sqrt {36 + 12}=\sqrt {48}=4\sqrt {3}$，B正确.
