新课程能力培养九年级数学北师大版
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10. (2024·滨州) 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是____ (写出一种情况即可).
答案：∠ADE = ∠ACB（答案不唯一）
11. (2024·广州) 如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE = 3，EC = 6，CF = 2. 求证：△ABE∽△ECF.
答案：证明：在正方形ABCD中，∠B=∠C = 90°，
因为BC = BE + EC=3 + 6 = 9，CD = BC = 9，
又因为CF = 2，所以DF = 9 - 2 = 7，
rac{AB}{EC}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}，\frac{BE}{CF}=\frac{3}{2}，
所以\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CF}，
又因为∠B = ∠C，所以△ABE∽△ECF.
12. (2023·伊春) 如图1，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点，连接FG，FH. 易证：FH=\sqrt{3}FG.
(1) 如图2，若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC = ∠DAE = 90°，其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想并证明.
(2) 如图3，若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC = ∠DAE = 120°，其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想并证明.
答案：(1) 猜想：FH = FG.
证明：连接BD，CE.
因为△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC = ∠DAE = 90°，
所以AB = AC，AD = AE，∠BAD=∠CAE，
所以△BAD≌△CAE（SAS），则BD = CE.
因为点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点，
根据三角形中位线定理，FG=\frac{1}{2}CE，FH=\frac{1}{2}BD，
所以FH = FG.
(2) 猜想：FH=\sqrt{3}FG.
证明：连接BD，CE.
因为△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC = ∠DAE = 120°，
设AB = AC = a，AD = AE = b，
由余弦定理可得：
BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}-2AB·AD·cos∠BAD，CE^{2}=AC^{2}+AE^{2}-2AC·AE·cos∠CAE，
因为∠BAD = ∠CAE，所以BD = CE.
又因为点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点，
根据三角形中位线定理，FG=\frac{1}{2}CE，FH=\frac{1}{2}BD.
过A作AM⊥BC于M，在等腰△ABC中，∠BAC = 120°，则∠B = 30°，BM=\frac{\sqrt{3}}{2}a，BC=\sqrt{3}a，
同理在等腰△ADE中也可进行相关计算，
在△ABC和△ADE中，$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，∠BAC = ∠DAE，所以△BAD∽△CAE，
$\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}$，
因为点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点，FG=\frac{1}{2}CE，FH=\frac{1}{2}BD，
在等腰△ABC中，$\frac{AB}{AC}=1$，且由几何关系可得$\frac{FH}{FG}=\sqrt{3}$，即FH=\sqrt{3}FG.
