新课程能力培养九年级数学北师大版
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10. （2024·方正）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，点E是BC边上一点，F是BD上一点，连接EF，若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是（
A
）
A. 2$\sqrt{2}$ B. 2$\sqrt{2}$ C. 4 D. $\sqrt{2}$
答案：C，解析：∵正方形ABCD边长2，BD是对角线，∠DBC=45°，△DEF与△DEC关于DE对称，∴DF=DC=2，EF=EC，BD=2$\sqrt{2}$，BF=BD-DF=2$\sqrt{2}$-2，△BEF周长=BE+EF+BF=BE+EC+BF=BC+BF=2+2$\sqrt{2}$-2=2$\sqrt{2}$（错误），正确解析：设EC=EF=x，BE=2-x，BF=BD-DF=2$\sqrt{2}$-2，∠EBF=45°，由余弦定理EF²=BE²+BF²-2BE·BFcos45°，x²=(2-x)²+(2$\sqrt{2}$-2)²-2(2-x)(2$\sqrt{2}$-2)$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得x=2$\sqrt{2}$-2，周长=2-x+x+2$\sqrt{2}$-2=2$\sqrt{2}$，选A（原答案A、B重复，应为2$\sqrt{2}$）
11. （2024·泸州）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE=BF，AF与DE相交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG=2BG，则OM+$\frac{1}{2}$FG的最小值是（
B
）
A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
答案：B，解析：取BF中点N，$\frac{1}{2}$FG=NG，OM+$\frac{1}{2}$FG=OM+NG，通过构造全等和对称，当O、M、N共线时最小，最小值为5，选B
