新课程能力培养九年级数学北师大版
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19. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，将$Rt\triangle ABC$绕点$C$顺时针旋转$60^{\circ}$得到$\triangle DEC$，点$E$在$AC$上，延长$CB$到点$F$，使$BF = BC$，连接$AF$，$AD$.
（1）求证：四边形$AFCD$是菱形.
证明：旋转$60^{\circ}$，$AC = DC$，$\angle ACD = 60^{\circ}$，$\triangle ACD$是等边三角形，$AD = AC = CD$.$\angle ABC = 90^{\circ}$，$E$在$AC$上，$BC = EC$，$BF = BC$，$BF = EC$，$AF = AB$，$AB = DE$，$AF = CD$，$AF// CD$，四边形$AFCD$是平行四边形，又$AD = CD$，所以是菱形.
（2）连接$BE$并延长交$AD$于点$G$，连接$CG$，试判断四边形$ABCG$是什么特殊四边形，并证明你的结论.
矩形
证明：$\triangle ABC\cong\triangle DEC$，$BC = EC$，$\angle BCE = 60^{\circ}$，$\triangle BCE$是等边三角形，$\angle CBE = 60^{\circ}$.$AFCD$是菱形，$AD// FC$，$\angle AGB = \angle CBE = 60^{\circ}$.$\angle BAC = 30^{\circ}$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AB// CG$，$AG// BC$，四边形$ABCG$是平行四边形，又$\angle ABC = 90^{\circ}$，所以是矩形.
答案：（1）证明：旋转$60^{\circ}$，$AC = DC$，$\angle ACD = 60^{\circ}$，$\triangle ACD$是等边三角形，$AD = AC = CD$.$\angle ABC = 90^{\circ}$，$E$在$AC$上，$BC = EC$，$BF = BC$，$BF = EC$，$AF = AB$，$AB = DE$，$AF = CD$，$AF// CD$，四边形$AFCD$是平行四边形，又$AD = CD$，所以是菱形.
（2）矩形
证明：$\triangle ABC\cong\triangle DEC$，$BC = EC$，$\angle BCE = 60^{\circ}$，$\triangle BCE$是等边三角形，$\angle CBE = 60^{\circ}$.$AFCD$是菱形，$AD// FC$，$\angle AGB = \angle CBE = 60^{\circ}$.$\angle BAC = 30^{\circ}$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AB// CG$，$AG// BC$，四边形$ABCG$是平行四边形，又$\angle ABC = 90^{\circ}$，所以是矩形.
20. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 4$cm，$AD = 6$cm，点$P$从点$A$出发，以$1$cm/s的速度沿$AD$向终点$D$运动，同时，点$Q$从点$C$出发，以$1$cm/s的速度沿$CB$向终点$B$运动，设运动时间为$t$（s）.
（1）当$0＜t＜6$时，判断四边形$BQDP$的形状，并说明理由.
（2）当$0＜t＜6$时，求四边形$BQDP$的面积$S$（$cm^2$）与运动时间$t$（s）的函数关系.
（3）四边形$BQDP$可能为菱形吗？若可能，请求出$t$的值；若不可能，请说明理由.
答案：（1）平行四边形
解析：$PD = AD - AP = 6 - t$，$BQ = BC - CQ = 6 - t$，$PD = BQ$，且$PD// BQ$，所以四边形$BQDP$是平行四边形.
（2）$S = 24$
解析：$S = BQ× AB=(6 - t)×4 = 24 - 4t$（原解析有误，修正）
$S = 底×高 = BQ× AB=(6 - t)×4 = 24 - 4t$，但矩形面积为$4×6 = 24$，四边形$BQDP$面积为矩形面积减去$\triangle ABP$和$\triangle CDQ$面积，$S = 24 - \frac {1}{2}×4× t - \frac {1}{2}×4× t = 24 - 4t$.
（3）可能，$t = \frac {5}{3}$
解析：若为菱形，则$BQ = BP$，$BP=\sqrt {AB^{2}+AP^{2}}=\sqrt {16 + t^{2}}$，$BQ = 6 - t$，$\sqrt {16 + t^{2}}=6 - t$，解得$t=\frac {5}{3}$.
21. 如图1，将一块直角三角板的直角顶点$P$放在正方形$ABCD$的对角线$BD$上滑动，并使其中一条直角边始终经过点$A$，另一条直角边与$BC$相交于点$E$.
（1）猜想$PA$与$PE$的数量关系（不必证明）.
（2）如图2，当直角顶点$P$运动到$BD$的延长线上时，（1）中猜想的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
（3）如图3，当直角顶点$P$运动到$DB$的延长线上时，（1）中猜想的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
答案：（1）$PA = PE$
（2）成立
证明：过$P$作$PM\perp AB$延长线于$M$，$PN\perp BC$延长线于$N$，$BD$是角平分线，$PM = PN$，$\angle MPN = 90^{\circ}$，$\angle APM = \angle EPN$，$\triangle APM\cong\triangle EPN$，$PA = PE$.
（3）成立
证明：过$P$作$PM\perp BA$延长线于$M$，$PN\perp BC$延长线于$N$，同理可证$\triangle APM\cong\triangle EPN$，$PA = PE$.
