新课程能力培养九年级数学北师大版
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10. 如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD.求证：
（1）∠BOD=∠C.
（2）四边形OBCD是菱形.
答案：（1）证明：
∵OA=OB=OD，∴点A、B、D在以O为圆心的圆上，∠BOD=2∠BAD。
∵∠C=2∠BAD，∴∠BOD=∠C。
（2）证明：
连接OC，∵BC=CD，OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC（SSS），∠BOC=∠DOC，∠OBC=∠ODC。
∵∠BOD=∠C，∠BOC + ∠DOC=∠BOD，∠OBC + ∠ODC + ∠C=180°，∴∠OBC=∠BOC，BC=OC=OB，∴OB=BC=CD=OD，四边形OBCD是菱形。
11. 如图，在Rt△ABC中，AC=BC，D是BC边上一点，AD的垂直平分线EF分别交AC，AD，AB于点E，O，F，BC=2.
（1）当CD=√2时，求AE的长.
3/2
（2）当CD=2(√2 -1)时，求证：四边形AEDF是菱形.
答案：（1）设AE=x，则EC=2 - x。
∵EF垂直平分AD，∴ED=AE=x。
在Rt△ECD中，EC² + CD²=ED²，(2 - x)² + (√2)²=x²，解得x=(3/2)。
（2）证明：
CD=2(√2 -1)，设AE=ED=x，EC=2 - x。
(2 - x)² + [2(√2 -1)]²=x²，解得x=4 - 2√2。
DF=AF，EF垂直平分AD，OA=OD，∠AOE=∠DOF=90°，∠OAE=∠ODF，△AOE≌△DOF（ASA），AE=DF，ED=AF，四边形AEDF为平行四边形。
∵AE=ED，∴平行四边形AEDF为菱形。
12. （2024·通辽）如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明□ABCD是菱形的是（
D
）
A. ∠BAC=∠BCA
B. ∠ABD=∠CBD
C. OA²+OB²=AD²
D. AD²+OA²=OD²
答案：D
A. ∠BAC=∠BCA，AB=BC，菱形；B. ∠ABD=∠CBD，AD=AB，菱形；C. OA²+OB²=AD²，AC⊥BD，菱形；D. AD²+OA²=OD²，无法直接判定邻边相等或对角线垂直，不能证明是菱形。
