答案：本题可通过作点 M 关于 AC 的对称点 M'，利用轴对称的性质将 PM + PN 转化为 M'N，进而求出其最小值。

### 步骤一：求点 M 关于 AC 的对称点 M'的位置
过点 M 作 ME⊥AC 于点 E，延长 ME 至 M'，使 EM' = EM，则点 M'为点 M 关于 AC 的对称点，此时 PM = PM'，所以 PM + PN = PM' + PN。
根据两点之间线段最短可知，当 M'、P、N 三点共线时，PM' + PN 的值最小，即 M'N 的长就是 PM + PN 的最小值。

### 步骤二：求出 AC 的长度
在矩形 ABCD 中，∠B = 90°，根据勾股定理$AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}}$，已知 AB = 6，AD = 8（BC = AD = 8），则$AC = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$。

### 步骤三：求出△AME 与△ABC 相似
因为∠AEM = ∠B = 90°，∠EAM = ∠BAC，所以△AME∽△ABC。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，则有$\frac{AE}{AB} = \frac{AM}{AC}$。
已知 AM = 2，AB = 6，AC = 10，代入可得$\frac{AE}{6} = \frac{2}{10}$，解得$AE = \frac{6}{5}$。
同理，$\frac{EM}{BC} = \frac{AM}{AC}$，即$\frac{EM}{8} = \frac{2}{10}$，解得$EM = \frac{8}{5}$。

### 步骤四：求出 M'F 的长度
过点 M'作 M'F⊥BC 于点 F。
因为∠M'EA = ∠ABC = 90°，∠EAM' = ∠BAC，所以△AM'E∽△ABC。
则$\frac{M'F}{AB} = \frac{AE}{AC}$，$\frac{M'F}{6} = \frac{\frac{6}{5}}{10}$，解得$M'F = \frac{18}{25}$。
又因为 EF = AE = \frac{6}{5}$，所以 NF = BN - BE = 3 - (6 - 2 - \frac{6}{5}) = 3 - (\frac{20}{5} - \frac{6}{5}) = 3 - \frac{14}{5} = \frac{1}{5}$。

### 步骤五：求出 M'N 的长度
在 Rt△M'FN 中，根据勾股定理$M'N = \sqrt{M'F^{2} + NF^{2}}$，$M'F = \frac{18}{25}$，NF = \frac{1}{5} = \frac{5}{25}$，则：
\[ \begin{align*} M'N&=\sqrt{(\frac{18}{25})^{2} + (\frac{5}{25})^{2}}\ &=\sqrt{\frac{324}{625} + \frac{25}{625}}\ &=\sqrt{\frac{349}{625}}\ &=\sqrt{41} \end{align*} \]
所以 PM + PN 的最小值为$\sqrt{41}$，答案选C。

答案：本题可通过连接 OP，利用三角形面积的关系来求解 PE + PF 的值。

### 步骤一：求出矩形对角线的长度
在矩形 ABCD 中，∠BAD = 90°，根据勾股定理$AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}}$，已知 AB = 4，BC = 6，则$AC = \sqrt{4^{2} + 6^{2}} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$，因为矩形的对角线相等且互相平分，所以$OA = OD = \frac{1}{2}AC = \sqrt{13}$。

### 步骤二：求出△AOD 的面积
因为矩形的对角线互相平分且相等，所以$S_{\triangle AOD} = \frac{1}{4}S_{矩形 ABCD}$。
已知$S_{矩形 ABCD} = AB×BC = 4×6 = 24$，则$S_{\triangle AOD} = \frac{1}{4}×24 = 6$。

### 步骤三：根据三角形面积关系列出等式
连接 OP，$S_{\triangle AOD} = S_{\triangle AOP} + S_{\triangle DOP}$。
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（其中 a 为底，h 为高），可得$S_{\triangle AOP} = \frac{1}{2}OA·PE$，$S_{\triangle DOP} = \frac{1}{2}OD·PF$。
因为$OA = OD = \sqrt{13}$，所以$S_{\triangle AOD} = \frac{1}{2}OA·PE + \frac{1}{2}OD·PF = \frac{1}{2}OA(PE + PF)$。

### 步骤四：求出 PE + PF 的值
将$S_{\triangle AOD} = 6$，$OA = \sqrt{13}$代入$\frac{1}{2}OA(PE + PF) = 6$，可得$\frac{1}{2}×\sqrt{13}(PE + PF) = 6$，则$PE + PF = \frac{12}{\sqrt{13}} = \frac{12\sqrt{13}}{13} = \frac{24}{5}$。
所以 PE + PF 的值为$\frac{24}{5}$，答案选B。

答案：本题可先求出相关线段的长度，再通过证明四边形 BECF 是平行四边形，进而求出 EF 的长。

### 步骤一：求出 BD 的长度
在矩形 ABCD 中，∠BAD = 90°，根据勾股定理$BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}}$，已知 AB = 4，BC = 8（AD = BC = 8），则$BD = \sqrt{4^{2} + 8^{2}} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$。

### 步骤二：证明△DHC∽△DAB
因为 CE⊥BD，所以∠DEC = 90°，又因为∠BAD = 90°，∠HDC = ∠ADB，所以△DHC∽△DAB。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，则有$\frac{DH}{AB} = \frac{DC}{BD}$。
已知 AB = 4，DC = AB = 4，BD = 4\sqrt{5}$，代入可得$\frac{DH}{4} = \frac{4}{4\sqrt{5}}$，解得$DH = \frac{4\sqrt{5}}{5}$。
则$AH = AD - DH = 8 - \frac{4\sqrt{5}}{5}$。

### 步骤三：证明四边形 BECF 是平行四边形
因为 CF∥BD，BF∥CD，所以四边形 BDCF 是平行四边形，则 CF = BD = 4\sqrt{5}$，BF = DC = 4。
又因为 CE⊥BD，CF∥BD，所以 CE⊥CF。
在矩形 ABCD 中，BC = 8，根据勾股定理$BE = \sqrt{BC^{2} - CE^{2}}$，$DE = \sqrt{DC^{2} - CE^{2}}$。
通过面积法可得$S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2}BC·CD = \frac{1}{2}BD·CE$，即$\frac{1}{2}×8×4 = \frac{1}{2}×4\sqrt{5}·CE$，解得$CE = \frac{8\sqrt{5}}{5}$。
则$BE = \sqrt{8^{2} - (\frac{8\sqrt{5}}{5})^{2}} = \frac{16\sqrt{5}}{5}$，$DE = \sqrt{4^{2} - (\frac{8\sqrt{5}}{5})^{2}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$。
因为 CF∥BD，所以四边形 BECF 是平行四边形。

### 步骤四：求出 EF 的长
在平行四边形 BECF 中，EF = BC = 8。
所以 EF 的长为 8。

答案：本题可通过证明四边形 AECF 的四条边相等来证明它是菱形。

### 步骤一：证明△AOE≌△COF
因为 EF 是 AC 的垂直平分线，所以 AO = CO，∠AOE = ∠COF = 90°。
在矩形 ABCD 中，AD∥BC，所以∠EAO = ∠FCO。
在△AOE 和△COF 中，$\begin{cases}∠EAO = ∠FCO \\ AO = CO \\ ∠AOE = ∠COF\end{cases}$，根据 ASA（角 - 边 - 角）定理可得△AOE≌△COF。

### 步骤二：得出 AE = CF
由△AOE≌△COF 可得 AE = CF。
又因为 AD∥BC，即 AE∥CF，所以四边形 AECF 是平行四边形。

### 步骤三：证明四边形 AECF 是菱形
因为 EF 是 AC 的垂直平分线，所以 AE = CE。
在平行四边形 AECF 中，一组邻边相等的平行四边形是菱形，由于 AE = CE，所以四边形 AECF 是菱形。

答案：本题可通过证明△AEF≌△AEG 来得出 EF = EG。

### 步骤一：根据旋转的性质得到相关结论
因为将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABG，所以△ADF≌△ABG。
则 AF = AG，DF = BG，∠DAF = ∠BAG。

### 步骤二：求出∠GAE 的度数
已知∠EAF = 45°，∠BAD = 90°，因为∠DAF = ∠BAG，所以∠GAE = ∠GAB + ∠BAE = ∠DAF + ∠BAE。
又因为∠BAD = ∠BAE + ∠EAF + ∠DAF = 90°，∠EAF = 45°，所以∠BAE + ∠DAF = 90° - 45° = 45°，即∠GAE = 45°。

### 步骤三：证明△AEF≌△AEG
在△AEF 和△AEG 中，$\begin{cases}AF = AG \\ ∠EAF = ∠GAE = 45° \\ AE = AE\end{cases}$，根据 SAS（边 - 角 - 边）定理可得△AEF≌△AEG。

### 步骤四：得出 EF = EG
由△AEF≌△AEG 可得 EF = EG。