新课程能力培养九年级数学北师大版
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9. 一个直角三角形的三条边的长是三个连续自然数，如果设这个三角形最短的边长为x，请列出关于x的方程，并将方程整理为一般形式。
答案：根据题意，另外两条边分别为$x + 1$，$x + 2$。因为是直角三角形，根据勾股定理可得方程$x^{2}+(x + 1)^{2}=(x + 2)^{2}$。整理：\[
\begin{align*}
x^{2}+x^{2}+2x + 1&=x^{2}+4x + 4\
x^{2}+x^{2}+2x + 1-x^{2}-4x - 4&=0\
x^{2}-2x - 3&=0
\end{align*}
\]
10. 有一间长20 m、宽15 m的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的$\frac{1}{2}$，四周未铺地毯的留空宽度相同，求留空的宽度.（只要求列出方程，并将方程整理为一般形式）
答案：设留空宽度为$x$米，那么地毯的长为$(20 - 2x)$米，宽为$(15 - 2x)$米。会议室面积为$20×15$平方米，地毯面积为会议室面积的$\frac{1}{2}$，可列方程$(20 - 2x)(15 - 2x)=\frac{1}{2}×20×15$。整理：\[
\begin{align*}
300-40x-30x + 4x^{2}&=150\
4x^{2}-70x + 300 - 150&=0\
4x^{2}-70x + 150&=0\
2x^{2}-35x + 75&=0
\end{align*}
\]
11. 某宾馆有50个标准间，每个标准间收费120元时可全部租出. 为了尽可能降低消耗，同时又增加收入，宾馆决定提高标准间的出租价格，若每个标准间每晚涨价10元，每晚就少2个标准间租出. 宾馆若每晚收入6600元，那么每个标准间应涨价多少元？这时每晚能租多少个标准间？（只要求列出方程，并将方程整理为一般形式）
答案：设每个标准间涨价$10x$元，则每晚租出的房间数为$(50 - 2x)$个。可列方程$(120 + 10x)(50 - 2x)=6600$。整理：\[
\begin{align*}
6000-240x + 500x-20x^{2}&=6600\
-20x^{2}+260x + 6000 - 6600&=0\
-20x^{2}+260x - 600&=0\
x^{2}-13x + 30&=0
\end{align*}
\]
12. (2024·重庆) 重庆在低空经济领域实现了新的突破. 今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次. 设第二、第三季度安全运行架次的平均增长率为$x$，根据题意，可列方程为 ____________。
答案：第一季度运行$200$架次，第二季度运行$200(1 + x)$架次，第三季度运行$200(1 + x)^{2}$架次，可列方程$200(1 + x)^{2}=401$。
13. (2022·泰安) 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：六贯二百一十文，遣人去买几株椽. 每株脚钱三文足，无钱准与一株椽. 其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文. 如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽. 设这批椽的数量为$x$株，则符合题意的方程是（ ）A. $3(x - 1)=6210$ B. $3(x - 1)=\frac{6210}{x}$ C. $(3x - 1)x=6210$ D. $3x=6210$
答案：每株椽的价钱是$\frac{6210}{x}$文，椽的数量是$x$株，少拿一株椽即$(x - 1)$株，其运费为$3(x - 1)$文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，所以$3(x - 1)=\frac{6210}{x}$，答案选B。
