新课程能力培养九年级数学北师大版
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14. 如图，点$B(3,3)$在函数$y = \frac{k}{x}(x>0)$的图象上，点$A$和点$C$分别在$x$轴、$y$轴的正半轴上，且点$A$，$B$，$C$，$D$构成的四边形为正方形。
(1)求反比例函数$y = \frac{k}{x}$的表达式。
(2)求点$A$的坐标。
答案：(1) 因为点$B(3,3)$在函数$y=\frac{k}{x}(x > 0)$的图象上，将$B(3,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，可得$3=\frac{k}{3}$，解得$k = 9$，所以反比例函数表达式为$y=\frac{9}{x}(x>0)$。
(2) 过点$B$作$BE\perp x$轴于点$E$，因为$B(3,3)$，所以$BE = 3$，$OE = 3$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$\angle ABC=90^{\circ}$，$AB = BC$，又因为$\angle CBO+\angle ABE = 90^{\circ}$，$\angle BAE+\angle ABE = 90^{\circ}$，所以$\angle CBO=\angle BAE$，且$\angle BOA=\angle AEB = 90^{\circ}$，$AB = BC$，则$\triangle CBO\cong\triangle BAE(AAS)$。设$OA=a$，则$AE=3 - a$，$BO=3 - a$，在$Rt\triangle BOA$中，$OA^{2}+OB^{2}=AB^{2}$，又因为$AB^{2}=BE^{2}+AE^{2}=9+(3 - a)^{2}$，$OA=a$，$OB=3 - a$，所以$a^{2}+(3 - a)^{2}=9+(3 - a)^{2}$，解得$a = 1$，所以点$A$的坐标为$(1,0)$。
15. 如图，直线$y=\frac{4}{5}x-\frac{4}{5}$交$x$轴于点$M$，矩形$OMAE$的面积为$4$，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象经过点$A$，$EA$的延长线交直线$y=\frac{4}{5}x-\frac{4}{5}$于点$D$。
(1)求反比例函数的表达式。
(2)若点$B$在$x$轴上，且$AB = AD$，求点$B$的坐标。
答案：(1) 在直线$y=\frac{4}{5}x-\frac{4}{5}$中，令$y = 0$，则$0=\frac{4}{5}x-\frac{4}{5}$，解得$x = 1$，所以$M(1,0)$，$OM = 1$。因为矩形$OMAE$的面积为$4$，所以$OM\times AE=4$，则$AE = 4$，所以$A(1,4)$。因为反比例函数$y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象经过点$A$，将$A(1,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k = 4$，所以反比例函数表达式为$y=\frac{4}{x}(x>0)$。
(2) 因为$EA$的延长线交直线$y=\frac{4}{5}x-\frac{4}{5}$于点$D$，$A(1,4)$，把$y = 4$代入$y=\frac{4}{5}x-\frac{4}{5}$，得$4=\frac{4}{5}x-\frac{4}{5}$，$20 = 4x-4$，$4x=24$，解得$x = 6$，所以$D(6,4)$，则$AD=6 - 1=5$。因为$AB = AD = 5$，$A(1,4)$，设$B(x,0)$，根据两点间距离公式$AB=\sqrt{(x - 1)^{2}+4^{2}}=5$，$(x - 1)^{2}+16 = 25$，$(x - 1)^{2}=9$，$x - 1=\pm3$，解得$x = 4$或$x=-2$，所以点$B$的坐标为$(4,0)$或$(-2,0)$。
16. 如图，一次函数$y=kx + b(k\neq0)$的图象与反比例函数$y=\frac{m^{2}-3m}{x}(m\neq0且m\neq3)$的图象在第一象限交于点$A$，$B$，且该一次函数的图象与$y$轴正半轴交于点$C$，过$A$，$B$分别作$y$轴的垂线，垂足分别为$E$，$D$。已知$A(4,1)$。
(1)求$m$的值和反比例函数的表达式。
(2)若点$M$为一次函数图象上的动点，求$OM$长度的最小值。
答案：(1) 因为点$A(4,1)$在反比例函数$y=\frac{m^{2}-3m}{x}$的图象上，将$A(4,1)$代入$y=\frac{m^{2}-3m}{x}$，可得$1=\frac{m^{2}-3m}{4}$，$m^{2}-3m - 4=0$，$(m - 4)(m + 1)=0$，解得$m = 4$或$m=-1$。因为$m\neq0$且$m\neq3$，所以$m = 4$或$m=-1$都满足条件。当$m = 4$时，$m^{2}-3m=4^{2}-3\times4 = 4$；当$m=-1$时，$m^{2}-3m=(-1)^{2}-3\times(-1)=1 + 3 = 4$，所以反比例函数表达式为$y=\frac{4}{x}$。
(2) 把$A(4,1)$代入一次函数$y=kx + b$，得$4k + b=1$。设$B\left(x_{0},\frac{4}{x_{0}}\right)$，因为$AE\perp y$轴，$BD\perp y$轴，$CE = 4CD$，$A(4,1)$，所以$CE = 4 - y_{C}$，$CD=y_{C}-\frac{4}{x_{0}}$，则$4 - y_{C}=4\left(y_{C}-\frac{4}{x_{0}}\right)$。又因为$B\left(x_{0},\frac{4}{x_{0}}\right)$在$y=kx + b$上，所以$kx_{0}+b=\frac{4}{x_{0}}$，联立$4k + b=1$可求出$k=-\frac{1}{4}$，$b = 2$，一次函数表达式为$y=-\frac{1}{4}x + 2$。根据点到直线距离公式，$O$到直线$y=-\frac{1}{4}x + 2$（即$x + 4y-8 = 0$）的距离$d=\frac{\vert0 + 0 - 8\vert}{\sqrt{1^{2}+4^{2}}}=\frac{8}{\sqrt{17}}=\frac{8\sqrt{17}}{17}$，所以$OM$长度的最小值为$\frac{8\sqrt{17}}{17}$。
