新课程能力培养九年级数学北师大版
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8. 如图，用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并解答下列问题：（1）在第n个图形中，每一横行共有______块瓷砖，每一竖列共有______块瓷砖，该图形中共有______块瓷砖；（2）上述的图形中，若每块白瓷砖50元，每块黑瓷砖3元，在问题（1）中，设铺设这样的图形地面共用了y元，求y与n的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若铺设这样的地面共用了506元，求此时n的值；（4）是否存在黑瓷砖与白瓷砖数量相等的情形？请通过计算说明。
答案：（1）每一横行有(n + 3)块瓷砖，每一竖列有(n + 3)块瓷砖，共有(n + 3)^2块瓷砖；（2）白瓷砖数量为n(n + 1)块，黑瓷砖数量为(n + 3)^2 - n(n + 1) = 4n + 9块，y = 50n(n + 1)+3(4n + 9)=50n^2+50n + 12n+27 = 50n^2+62n + 27；（3）令y = 506，即50n^2+62n + 27 = 506，50n^2+62n - 479 = 0，解得n = 3或n=-\frac{159}{50}（舍去），所以n = 3；（4）令n(n + 1)=4n + 9，n^2 - 3n - 9 = 0，解得n = \frac{3\pm3\sqrt{5}}{2}，因为n不是正整数，所以不存在黑瓷砖与白瓷砖数量相等的情形。
9. 若一元二次方程x^2 - 2x + 4c = 0无实数根，则实数c的取值范围为______。
答案：对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a\neq0)，判别式\Delta=b^2 - 4ac，此方程中a = 1，b=-2，c = 4c，因为无实数根，所以\Delta=(-2)^2-4\times1\times4c<0，4 - 16c<0，解得c>\frac{1}{4}。
10. 若关于x的一元二次方程x^2 - 4x + c = 0有两个相等的实数根，则实数c的值为______。
答案：对于一元二次方程x^2 - 4x + c = 0，a = 1，b=-4，c = c，因为有两个相等实数根，所以\Delta=(-4)^2-4c = 0，16 - 4c = 0，解得c = 4。
11. 若实数A是方程\sqrt{2}x - 1 = \sqrt{2}+1的解，则实数A与2的积为（ ）A. 4 B. 4 + \sqrt{2} C. \sqrt{2}+1 D. \sqrt{2}
答案：先解方程\sqrt{2}x - 1 = \sqrt{2}+1，\sqrt{2}x=\sqrt{2}+2，x = 1+\sqrt{2}，则A = 1+\sqrt{2}，A\times2=(1 + \sqrt{2})\times2=2 + 2\sqrt{2}，题目选项有误。若解方程为\sqrt{2}x-1=\sqrt{2}-1，解得x = 1，A = 1，A\times2 = 2；若解方程为\sqrt{2}x+1=\sqrt{2}+1，解得x = 1，A = 1，A\times2 = 2；若按照\sqrt{2}x - 1 = \sqrt{2}+1正确解出A = 1+\sqrt{2}，A\times2=2 + 2\sqrt{2}，没有符合的选项，推测题目方程可能为\sqrt{2}x-1=\sqrt{2}-1，此时选A。
12. 以下关于一元二次方程x^2 - 6x + 6 = 0根的说法正确的是（ ）A. 有两个相等的实数根 B. \sqrt{2} + 1是它的一个实数根 C. 1是它的一个实数根 D. x^2-6x + 6 = 0无实数根
答案：对于一元二次方程x^2 - 6x + 6 = 0，a = 1，b=-6，c = 6，\Delta=(-6)^2-4\times1\times6=36 - 24 = 12>0，有两个不相等实数根，由求根公式x=\frac{6\pm\sqrt{12}}{2}=3\pm\sqrt{3}，都不是\sqrt{2}+1和1，所以选项都不正确。
13. 已知关于x的一元二次方程x^2 - 2mx + m^2 - m - 1 = 0，下列判断正确的是（ ）A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定实数根的情况
答案：对于方程x^2 - 2mx + m^2 - m - 1 = 0，a = 1，b=-2m，c = m^2 - m - 1，\Delta=(-2m)^2-4\times1\times(m^2 - m - 1)=4m^2-4m^2 + 4m + 4 = 4m + 4，当m>-1时，\Delta>0，有两个不相等实数根；当m=-1时，\Delta=0，有两个相等实数根；当m<-1时，\Delta<0，无实数根，无法确定，选D。
14. 对于任意实数A，B，C，有[A，B，C]=A^2 + B^2 + C^2，若[A，B，C]=13，且关于x的方程x^2+2x + m = 0有两个相等的实数根，则m的取值范围为（ ）A. m>\frac{1}{4}且m\neq0 B. m<\frac{1}{4}且m\neq0 C. m>\frac{1}{4} D. m<\frac{1}{4}
答案：因为关于x的方程x^2+2x + m = 0有两个相等实数根，所以\Delta=2^2-4m = 0，解得m = 1，1>\frac{1}{4}，选C。
