新课程能力培养九年级数学北师大版
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10. 如图，等边三角形 $ABC$ 的边长为 $6$，求它的高与边长的比。
答案：设等边三角形 $ABC$，$AD$ 为 $BC$ 边上的高，$D$ 为 $BC$ 中点。因为 $BC = 6$，所以 $BD=\frac{1}{2}BC = 3$。在 $Rt\triangle ABD$ 中，根据勾股定理 $AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=\sqrt{36 - 9}=3\sqrt{3}$。则高 $AD$ 与边长 $AB$ 的比为 $\frac{AD}{AB}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
11. 已知 $a$，$b$，$c$ 为 $\triangle ABC$ 的三边，并且 $a + b + c = 60$，$a:b:c = 3:4:5$，你能确定三角形的形状吗？
答案：设 $a = 3x$，$b = 4x$，$c = 5x$，由 $a + b + c = 60$，可得 $3x+4x + 5x=60$，$12x = 60$，解得 $x = 5$。所以 $a = 3\times5 = 15$，$b = 4\times5 = 20$，$c = 5\times5 = 25$。因为 $a^{2}+b^{2}=15^{2}+20^{2}=225 + 400 = 625$，$c^{2}=25^{2}=625$，所以 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$，根据勾股定理逆定理可知，$\triangle ABC$ 是直角三角形。
12. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$，且 $AB = 3\mathrm{cm}$，$BC = 5.6\mathrm{cm}$，$AC = 5\mathrm{cm}$，求 $BD$，$DC$ 的长。
答案：设 $BD=x\mathrm{cm}$，因为 $BC = 5.6\mathrm{cm}$，所以 $DC=(5.6 - x)\mathrm{cm}$。由 $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$，即 $\frac{3}{5}=\frac{x}{5.6 - x}$，交叉相乘得 $3(5.6 - x)=5x$，$16.8-3x = 5x$，$8x = 16.8$，解得 $x = 2.1$。所以 $BD = 2.1\mathrm{cm}$，$DC=5.6 - 2.1 = 3.5\mathrm{cm}$。
13. (2023·甘孜) 若 $\frac{x}{y}=2$，则 $\frac{x - y}{y}=$______。
答案：因为 $\frac{x}{y}=2$，即 $x = 2y$，将 $x = 2y$ 代入 $\frac{x - y}{y}$ 得 $\frac{2y - y}{y}=\frac{y}{y}=1$。
14. (2023·丽水) 小李同学在学习了九年级上册 “4.1 成比例线段” 后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程。$\frac{a}{x}=\frac{y}{c}$，当 $x = y = b$ 时，$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$，当 $\frac{a}{c}=$______时，$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\sqrt{2}$。
答案：因为 $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\sqrt{2}$，所以 $a=\sqrt{2}b$，$b=\sqrt{2}c$，则 $a=\sqrt{2}\times\sqrt{2}c = 2c$，所以 $\frac{a}{c}=2$。
15. (2023·金昌) 若 $\frac{a}{2}=\frac{3}{b}$，则 $ab=$（ ）A. $6$ B. $\frac{3}{2}$ C. $1$ D. $\frac{2}{3}$
答案：由 $\frac{a}{2}=\frac{3}{b}$，根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，可得 $ab=2\times3 = 6$，答案选A。
