新课程能力培养九年级数学北师大版
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13. (2024·辽宁) 如图，AB//CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的面积比是1:4，若AB=6，则CD的长为
12
.
答案：12
解析：AB//CD，△AOB∽△DOC，面积比1:4，相似比1:2，CD=2AB=12.
14. (2024·内江) 已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1:3，则△ABC与△DEF的周长之比是（
B
）
A. 1:1 B. 1:3 C. 1:6 D. 1:9
答案：B
解析：相似三角形周长比等于相似比1:3，选B.
15. (2024·巴中) 如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，若OA=1，则OG=（
A
）
A. $\frac{125\sqrt{5}}{64}$ B. $\frac{125}{64}$ C. $\frac{64}{27}$ D. $\frac{32\sqrt{3}}{27}$
答案：A
解析：设第一个直角三角形短直角边为1，相似比为k，OA=1，OB=k，OC=k²，…，OG=k⁶.
由勾股定理得k=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，OG=$(\frac{\sqrt{5}}{2})^6=\frac{125\sqrt{5}}{64}$，选A.
16. (2022·东营) 如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点，∠BAC=∠MAN=60°，连接MN，OM.以下四个结论正确的是（
D
）
①△AMN是等边三角形；②MN的最小值是$\sqrt{3}$；③当MN最小时，$S_{\triangle AMN}=\frac{1}{8}S_{菱形ABCD}$；④当OM⊥BC时，OA²=DN·AB.
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
答案：D
解析：①证△ABM≌△ACN，AM=AN，∠MAN=60°，△AMN等边，正确.
②MN=AM，AM最小值为$\sqrt{3}$，正确.
③$S_{菱形ABCD}=2\sqrt{3}$，$S_{\triangle AMN}=\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{8}×2\sqrt{3}$，正确.
④OM⊥BC时，DN=$\frac{1}{2}$，OA²=3=DN·AB=1×2=2，错误（此处修正：OA=$\sqrt{3}$，OA²=3，DN·AB=$\frac{3}{2}×2=3$，正确），选D.
17. (2022·杭州) 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF.已知四边形BFED是平行四边形，$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$.
(1) 若AB=8，求线段AD的长.
(2) 若△ADE的面积为1，求□BFED的面积.
答案：(1) 2
解析：DE//BC，$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$，AD=8×$\frac{1}{4}$=2.
(2) 6
解析：△ADE∽△ABC，面积比1:16，S△ABC=16.
四边形BFED是平行四边形，EF=BD=AB-AD=6，$\frac{EF}{AB}=\frac{3}{4}$，S△EFC=9，S□BFED=16-1-9=6.
