新课程能力培养九年级数学北师大版
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7. 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，E，F分别是AB，AD的中点. 求证：OE = OF.
答案：证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AB = AD，且AC⊥BD，即∠AOB = ∠AOD = 90°. 又因为E，F分别是AB，AD的中点，在Rt△AOB中，OE是斜边AB的中线，则OE = $\frac{1}{2}AB$；在Rt△AOD中，OF是斜边AD的中线，则OF = $\frac{1}{2}AD$. 由于AB = AD，所以OE = OF.
8. 如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EF⊥AC于点H，交CB的延长线于点F，交AB于点G. 求证：AB与EF互相平分.
答案：证明：连接BD. 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，AD∥BC. 又因为EF⊥AC，所以EF∥BD. 因为AD∥BC，EF∥BD，所以四边形BDEF是平行四边形，则DE = BF. 因为E是AD的中点，所以AE = DE，所以AE = BF. 又因为AE∥BF，所以四边形AFBE是平行四边形，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，所以AB与EF互相平分.
9. 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，∠B = ∠EAF = 60°，∠BAE = 18°. 求∠CEF的度数.
答案：解：连接AC. 因为四边形ABCD是菱形，∠B = 60°，所以△ABC和△ADC都是等边三角形，则AB = AC，∠BAC = ∠ACB = 60°. 因为∠EAF = 60°，所以∠BAE+∠EAC = ∠EAC+∠CAF，即∠BAE = ∠CAF. 又因为∠B = ∠ACF = 60°，AB = AC，所以△ABE≌△ACF（ASA），所以AE = AF. 又因为∠EAF = 60°，所以△AEF是等边三角形，所以∠AEF = 60°. 因为∠AEC = ∠B+∠BAE = 60° + 18° = 78°，所以∠CEF = ∠AEC - ∠AEF = 78° - 60° = 18°.
10.（2024·广东）如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点. 若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为___.
答案：10
11.（2024·绥化）如图，四边形ABCD是菱形，CD = 5，BD = 8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）A. $\frac{24}{5}$ B. 6 C. $\frac{48}{5}$ D. 12
答案：A
12.（2024·济南）如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为F. 求证：AF = CE.
答案：证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AD = CD，∠D = ∠D. 因为AE⊥CD，CF⊥AD，所以∠AED = ∠CFD = 90°. 所以△ADE≌△CDF（AAS），则DE = DF. 因为AD - DF = CD - DE，所以AF = CE.
