新课程能力培养九年级数学北师大版
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1. 方程$(3x + 1)(x - 2)-4 = 0$的一般形式是______，它的二次项是______，一次项是______，常数项是______。
答案：先将方程$(3x + 1)(x - 2)-4 = 0$展开：$(3x + 1)(x - 2)-4=3x^2-6x+x - 2-4=3x^2-5x - 6 = 0$。一般形式是$3x^{2}-5x - 6 = 0$，二次项是$3x^{2}$，一次项是$-5x$，常数项是$-6$。
2. 两个连续的偶数的积是228，如果设较小的一个偶数为$x$，则另一个偶数可以表示为______，根据题意可列出方程为______。
答案：因为两个数是连续偶数，设较小的一个偶数为$x$，则另一个偶数可以表示为$x + 2$，根据题意可列出方程为$x(x + 2)=228$。
3. 若方程$(k + 2)x^{2}-7x - 9 = 0$是关于$x$的一元二次方程，则$k$满足______。
答案：一元二次方程的一般形式是$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，在方程$(k + 2)x^{2}-7x - 9 = 0$中，$a = k + 2$，因为是一元二次方程，所以$k+2\neq0$，即$k\neq - 2$。
4. 已知下列方程：$(3x - 2)(x + 5)=2$，$2x^{2}+y + 4 = 0$，$\frac{3}{x}+x = 1$，$x^{2}y+x^{2}-1 = xy + 1$，$x^{2}-7 = 0$，$4x^{2}=x$，$z^{2}+2z=-3$，其中一元二次方程的个数为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
答案：$(3x - 2)(x + 5)=2$展开得$3x^{2}+15x-2x - 10 = 2$，即$3x^{2}+13x - 12 = 0$，是一元二次方程；$2x^{2}+y + 4 = 0$含有两个未知数$x$和$y$，不是一元二次方程；$\frac{3}{x}+x = 1$是分式方程，不是一元二次方程；$x^{2}y+x^{2}-1 = xy + 1$含有两个未知数$x$和$y$，不是一元二次方程；$x^{2}-7 = 0$是一元二次方程；$4x^{2}=x$即$4x^{2}-x = 0$，是一元二次方程；$z^{2}+2z=-3$含有未知数$z$，不是关于$x$的方程。所以一元二次方程有$(3x - 2)(x + 5)=2$，$x^{2}-7 = 0$，$4x^{2}=x$，共3个，答案是B。
5. 关于$x$的一元二次方程$(m - 3)x^{2}+m^{2}x = 9x + 5$化为一般形式后不含一次项，则$m$的值为（ ）A. 0 B. $\pm3$ C. 3 D. -3
答案：将方程$(m - 3)x^{2}+m^{2}x = 9x + 5$化为一般形式：$(m - 3)x^{2}+(m^{2}-9)x - 5 = 0$，因为不含一次项，所以$m^{2}-9 = 0$且$m - 3\neq0$。由$m^{2}-9 = 0$得$m=\pm3$，又$m - 3\neq0$即$m\neq3$，所以$m=-3$，答案是D。
6. 某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元. 设平均每次降价的百分率为$x$，则下列方程中正确的是（ ）A. $55(1 + x)^{2}=35$ B. $35(1 + x)^{2}=55$ C. $55(1 - x)^{2}=35$ D. $35(1 - x)^{2}=55$
答案：第一次降价后的价格是$55(1 - x)$，第二次降价是在第一次降价后完成的，所以第二次降价后的价格是$55(1 - x)(1 - x)=55(1 - x)^{2}$，已知两次降价后价格为35元，所以方程为$55(1 - x)^{2}=35$，答案是C。
7. 将下面表格中的方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项、一次项的系数和常数项。
答案：|一元二次方程|一般形式|二次项系数|一次项系数|常数项|
|----|----|----|----|----|
|$3x = 5-2x^{2}$| $2x^{2}+3x - 5 = 0$|2|3|-5|
|$(2x - 1)^{2}+4x = 7$，先展开$(2x - 1)^{2}+4x = 4x^{2}-4x + 1+4x = 7$，即$4x^{2}-6 = 0$| $4x^{2}+0x - 6 = 0$|4|0|-6|
|$\frac{1}{2}x(x + 1)=3(x - 2)+1$，展开$\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x = 3x-6 + 1$，即$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{2}x + 5 = 0$，两边同乘2得$x^{2}-5x + 10 = 0$| $x^{2}-5x + 10 = 0$|1|-5|10|
8. 关于$x$的方程$(k + 3)(k - 1)x^{2}+(k - 1)x + 5 = 0$，$k$为何值时，方程是一元二次方程？
答案：方程$(k + 3)(k - 1)x^{2}+(k - 1)x + 5 = 0$是一元二次方程，则二次项系数不为0，即$(k + 3)(k - 1)\neq0$。$(k + 3)(k - 1)\neq0$时，$k+3\neq0$且$k - 1\neq0$，解得$k\neq - 3$且$k\neq1$。所以当$k\neq - 3$且$k\neq1$时，方程是一元二次方程。
