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2025年师说高中数学选择性必修第一册
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年师说高中数学选择性必修第一册 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
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【问题探究1】你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？
答案：
问题探究1提示:空间向量是平面向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致.
例1（1）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A.若$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$，则$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$的长度相等，方向相同或相反
B.若向量$\boldsymbol{a}$是向量$\boldsymbol{b}$的相反向量，则$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$
C.空间向量的减法满足结合律
D.若空间向量$\boldsymbol{m}$，$\boldsymbol{n}$，$\boldsymbol{p}$满足$\boldsymbol{m}=\boldsymbol{n}$，$\boldsymbol{n}=\boldsymbol{p}$，则$\boldsymbol{m}=\boldsymbol{p}$
A.若$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$，则$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$的长度相等，方向相同或相反
B.若向量$\boldsymbol{a}$是向量$\boldsymbol{b}$的相反向量，则$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$
C.空间向量的减法满足结合律
D.若空间向量$\boldsymbol{m}$，$\boldsymbol{n}$，$\boldsymbol{p}$满足$\boldsymbol{m}=\boldsymbol{n}$，$\boldsymbol{n}=\boldsymbol{p}$，则$\boldsymbol{m}=\boldsymbol{p}$
答案：
例1解析:
(1)$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$，说明$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$模相等，但方向不确定；对于$\boldsymbol{a}$的相反向量$\boldsymbol{b}=-\boldsymbol{a}$，故$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不满足结合律；根据相等向量的定义知D正确.故选BD.
(1)$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$，说明$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$模相等，但方向不确定；对于$\boldsymbol{a}$的相反向量$\boldsymbol{b}=-\boldsymbol{a}$，故$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不满足结合律；根据相等向量的定义知D正确.故选BD.
（2）如图所示，在平行六面体$ABCD - A'B'C'D'$中，顶点连接的向量中，与向量$\overrightarrow{AA'}$相等的向量有________；与向量$\overrightarrow{A'B'}$相反的向量有____________________.（要求写出所有适合条件的向量）
答案：
(2)根据相等向量的定义知，与向量$\overrightarrow{AA'}$相等的向量有$\overrightarrow{BB'}$，$\overrightarrow{CC'}$，$\overrightarrow{DD'}$，与向量$\overrightarrow{A'B'}$相反的向量有$\overrightarrow{B'A'}$，$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{C'D'}$.答案:
(1)BD
(2)$\overrightarrow{BB'}$，$\overrightarrow{CC'}$，$\overrightarrow{DD'}$ $\overrightarrow{B'A'}$，$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{C'D'}$
(2)根据相等向量的定义知，与向量$\overrightarrow{AA'}$相等的向量有$\overrightarrow{BB'}$，$\overrightarrow{CC'}$，$\overrightarrow{DD'}$，与向量$\overrightarrow{A'B'}$相反的向量有$\overrightarrow{B'A'}$，$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{C'D'}$.答案:
(1)BD
(2)$\overrightarrow{BB'}$，$\overrightarrow{CC'}$，$\overrightarrow{DD'}$ $\overrightarrow{B'A'}$，$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{C'D'}$
巩固练习1（多选）下列命题正确的是（ ）
A.空间中所有的单位向量都相等
B.若$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$，则$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$
C.若$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}|＞|\boldsymbol{b}|$，且$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$同向，则$\boldsymbol{a}＞\boldsymbol{b}$
D.对于任意向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，必有$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|\leqslant|\boldsymbol{a}| + |\boldsymbol{b}|$
A.空间中所有的单位向量都相等
B.若$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$，则$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$
C.若$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}|＞|\boldsymbol{b}|$，且$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$同向，则$\boldsymbol{a}＞\boldsymbol{b}$
D.对于任意向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，必有$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|\leqslant|\boldsymbol{a}| + |\boldsymbol{b}|$
答案：
巩固练习1解析:向量相等需要满足两个条件，长度相等且方向相同，缺一不可，故A错；根据平行向量和相等向量的定义可知B正确；向量不能比较大小，故C错；根据向量的模的三角不等式知$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|\leq|\boldsymbol{a}| + |\boldsymbol{b}|$，故D正确.故选BD.答案:BD
【问题探究2】空间中的任意两个向量是否共面？为什么？
答案：
问题探究2提示:共面，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致.
例2（1）平行六面体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，化简$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{B_{1}B}=$（ ）
A.$\overrightarrow{BD_{1}}$ B.$\overrightarrow{A_{1}C}$ C.$\overrightarrow{CA_{1}}$ D.$\overrightarrow{DB_{1}}$
A.$\overrightarrow{BD_{1}}$ B.$\overrightarrow{A_{1}C}$ C.$\overrightarrow{CA_{1}}$ D.$\overrightarrow{DB_{1}}$
答案：
例2解析:
(1)$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{B_{1}B}=\overrightarrow{A_{1}B_{1}}+\overrightarrow{B_{1}B}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{A_{1}B}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A_{1}C}$.故选B.
(1)$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{B_{1}B}=\overrightarrow{A_{1}B_{1}}+\overrightarrow{B_{1}B}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{A_{1}B}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A_{1}C}$.故选B.
（2）如图，在空间四边形$ABCD$中，若$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{BD}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{c}$，则$\overrightarrow{CD}=$________.
答案：
(2)因为$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{BD}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{c}$，所以$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$.
答案:
(1)B
(2)$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$
(2)因为$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{BD}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{c}$，所以$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$.
答案:
(1)B
(2)$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$
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